Номер 874, страница 220 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 874, страница 220.

Условие.

874. Представьте выражение в виде степени с основанием $a$ или произведения степеней с разными основаниями:

1) $a^{-7} \cdot a^{10}$;

2) $a^{-9} \cdot a^{5}$;

3) $a^{17} \cdot a^{-4} \cdot a^{-11}$;

4) $a^{-2} : a^{3}$;

5) $a^{12} : a^{-4}$;

6) $a^{-7} : a^{-11}$;

7) $a^{-12} : a^{-10} \cdot a^{4}$;

8) $(a^{3})^{-5}$;

9) $(a^{-12})^{-2}$;

10) $(a^{-3})^{4} : (a^{-2})^{5} : (a^{-1})^{-7}$;

11) $(m^{-3}n^{4}p^{7})^{-4}$;

12) $(a^{-1}b^{-2})^{-3}$;

13) $(x^{3}y^{-4})^{5} \cdot (x^{-2}y^{-3})^{3}$;

14) $\left(\frac{a^{11}b^{-7}}{c^{-3}d^{4}}\right)^{-3}$;

15) $\left(\frac{a^{-7}}{b^{5}}\right)^{-3} \cdot \left(\frac{a^{4}}{b^{-7}}\right)^{-5}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются. Используем свойство $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$: $a^{-7} \cdot a^{10} = a^{-7+10} = a^3$. Ответ: $a^3$.

2) Аналогично предыдущему пункту, складываем показатели степеней: $a^{-9} \cdot a^{5} = a^{-9+5} = a^{-4}$. Ответ: $a^{-4}$.

3) Складываем показатели всех степеней с основанием $a$: $a^{17} \cdot a^{-4} \cdot a^{-11} = a^{17+(-4)+(-11)} = a^{17-15} = a^2$. Ответ: $a^2$.

4) При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются. Используем свойство $a^m : a^n = a^{m-n}$: $a^{-2} : a^{3} = a^{-2-3} = a^{-5}$. Ответ: $a^{-5}$.

5) Вычитаем показатели степеней, так как происходит деление: $a^{12} : a^{-4} = a^{12-(-4)} = a^{12+4} = a^{16}$. Ответ: $a^{16}$.

6) Вычитаем показатели степеней: $a^{-7} : a^{-11} = a^{-7-(-11)} = a^{-7+11} = a^4$. Ответ: $a^4$.

7) Выполняем действия по порядку слева направо. Сначала деление, затем умножение: $a^{-12} : a^{-10} \cdot a^{4} = a^{-12-(-10)} \cdot a^4 = a^{-2} \cdot a^4 = a^{-2+4} = a^2$. Ответ: $a^2$.

8) При возведении степени в степень показатели перемножаются. Используем свойство $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$: $(a^3)^{-5} = a^{3 \cdot (-5)} = a^{-15}$. Ответ: $a^{-15}$.

9) Аналогично предыдущему пункту, перемножаем показатели: $(a^{-12})^{-2} = a^{-12 \cdot (-2)} = a^{24}$. Ответ: $a^{24}$.

10) Сначала упрощаем каждую степень, а затем выполняем деление последовательно: $(a^{-3})^4 : (a^{-2})^5 : (a^{-1})^{-7} = a^{-12} : a^{-10} : a^7 = a^{-12 - (-10) - 7} = a^{-2 - 7} = a^{-9}$. Ответ: $a^{-9}$.

11) Возводим каждый множитель в скобках в степень $-4$, используя свойство $(xyz)^n = x^n y^n z^n$: $(m^{-3}n^4p^7)^{-4} = (m^{-3})^{-4}(n^4)^{-4}(p^7)^{-4} = m^{12}n^{-16}p^{-28}$. Ответ: $m^{12}n^{-16}p^{-28}$.

12) Возводим каждый множитель в степень $-3$: $(a^{-1}b^{-2})^{-3} = (a^{-1})^{-3}(b^{-2})^{-3} = a^{-1 \cdot (-3)}b^{-2 \cdot (-3)} = a^3b^6$. Ответ: $a^3b^6$.

13) Упрощаем каждое выражение в скобках и перемножаем результаты: $(x^3y^{-4})^5 \cdot (x^{-2}y^{-3})^3 = (x^{3 \cdot 5}y^{-4 \cdot 5}) \cdot (x^{-2 \cdot 3}y^{-3 \cdot 3}) = (x^{15}y^{-20}) \cdot (x^{-6}y^{-9})$. Затем группируем степени с одинаковыми основаниями: $x^{15}x^{-6} \cdot y^{-20}y^{-9} = x^{15-6}y^{-20-9} = x^9y^{-29}$. Ответ: $x^9y^{-29}$.

14) Возводим числитель и знаменатель в степень $-3$: $(\frac{a^{11}b^{-7}}{c^{-3}d^4})^{-3} = \frac{(a^{11}b^{-7})^{-3}}{(c^{-3}d^4)^{-3}} = \frac{a^{11 \cdot (-3)}b^{-7 \cdot (-3)}}{c^{-3 \cdot (-3)}d^{4 \cdot (-3)}} = \frac{a^{-33}b^{21}}{c^9d^{-12}}$. Представляем в виде произведения степеней: $a^{-33}b^{21}c^{-9}d^{12}$. Ответ: $a^{-33}b^{21}c^{-9}d^{12}$.

15) Упрощаем каждую дробь, возводя в степень, а затем перемножаем результаты. Первая дробь: $(\frac{a^{-7}}{b^5})^{-3} = \frac{(a^{-7})^{-3}}{(b^5)^{-3}} = \frac{a^{21}}{b^{-15}}$. Вторая дробь: $(\frac{a^4}{b^{-7}})^{-5} = \frac{(a^4)^{-5}}{(b^{-7})^{-5}} = \frac{a^{-20}}{b^{35}}$. Перемножаем: $\frac{a^{21}}{b^{-15}} \cdot \frac{a^{-20}}{b^{35}} = \frac{a^{21}a^{-20}}{b^{-15}b^{35}} = \frac{a^{21-20}}{b^{-15+35}} = \frac{a}{b^{20}} = ab^{-20}$. Ответ: $ab^{-20}$.