Номер 867, страница 218 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 867, страница 218.

Условие.

867. Упростите выражение:

1) $\left(\frac{a+4}{a-4} - \frac{a-4}{a+4}\right) \cdot \frac{16-a^2}{32a^3};$

2) $\left(7x - \frac{4x}{x-3}\right) : \frac{14x-50}{3x-9};$

3) $\frac{2a}{a-2} + \frac{a+7}{8-4a} \cdot \frac{32}{7a+a^2};$

4) $\left(\frac{9c}{c-8} + \frac{7c}{c^2-16c+64}\right) : \left(\frac{9c-65}{c^2-64} - \frac{8c+64}{c-8}\right);$

5) $\left(\frac{a^2}{a+b} - \frac{a^3}{a^2+ab+b^2}\right) : \left(\frac{a}{a-b} - \frac{a^2}{a^2-b^2}\right);$

6) $\left(\frac{b}{b+6} + \frac{36+b^2}{36-b^2} - \frac{b}{b-6}\right) : \frac{6b+b^2}{(6-b)^2};$

7) $\left(\frac{2x}{x^3+1} : \frac{1-x}{x^2-x+1} + \frac{2}{x-1}\right) \cdot \frac{x^2-2x+1}{4} : \frac{x-1}{x+1};$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Выполним действия в скобках, приведя дроби к общему знаменателю $(a-4)(a+4)$:
$\frac{a+4}{a-4} - \frac{a-4}{a+4} = \frac{(a+4)^2 - (a-4)^2}{(a-4)(a+4)} = \frac{(a^2+8a+16) - (a^2-8a+16)}{a^2-16} = \frac{a^2+8a+16-a^2+8a-16}{a^2-16} = \frac{16a}{a^2-16}$.
Теперь выполним умножение. Упростим второй множитель:
$\frac{16-a^2}{32a^3} = \frac{-(a^2-16)}{32a^3}$.
Перемножим полученные выражения:
$\frac{16a}{a^2-16} \cdot \frac{-(a^2-16)}{32a^3} = \frac{16a \cdot (-(a^2-16))}{(a^2-16) \cdot 32a^3}$.
Сократим общие множители $(a^2-16)$, $16$ и $a$:
$\frac{-1}{2a^2}$.
Ответ: $-\frac{1}{2a^2}$.

2) Сначала упростим выражение в скобках, приведя к общему знаменателю $x-3$:
$7x - \frac{4x}{x-3} = \frac{7x(x-3)}{x-3} - \frac{4x}{x-3} = \frac{7x^2-21x-4x}{x-3} = \frac{7x^2-25x}{x-3} = \frac{x(7x-25)}{x-3}$.
Теперь выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь. Упростим делитель:
$\frac{14x-50}{3x-9} = \frac{2(7x-25)}{3(x-3)}$.
Выполним умножение:
$\frac{x(7x-25)}{x-3} \cdot \frac{3(x-3)}{2(7x-25)}$.
Сократим общие множители $(7x-25)$ и $(x-3)$:
$\frac{3x}{2}$.
Ответ: $\frac{3x}{2}$.

3) Согласно порядку действий, сначала выполним умножение. Разложим знаменатели на множители:
$8-4a = 4(2-a) = -4(a-2)$;
$7a+a^2 = a(7+a) = a(a+7)$.
$\frac{a+7}{8-4a} \cdot \frac{32}{7a+a^2} = \frac{a+7}{-4(a-2)} \cdot \frac{32}{a(a+7)}$.
Сократим общие множители $(a+7)$ и $4$:
$\frac{1}{-(a-2)} \cdot \frac{8}{a} = \frac{-8}{a(a-2)}$.
Теперь выполним сложение:
$\frac{2a}{a-2} + \frac{-8}{a(a-2)} = \frac{2a^2}{a(a-2)} - \frac{8}{a(a-2)} = \frac{2a^2-8}{a(a-2)}$.
Разложим числитель на множители: $2a^2-8 = 2(a^2-4) = 2(a-2)(a+2)$.
$\frac{2(a-2)(a+2)}{a(a-2)}$.
Сократим общий множитель $(a-2)$:
$\frac{2(a+2)}{a}$.
Ответ: $\frac{2(a+2)}{a}$.

4) Упростим выражение в первых скобках. Заметим, что $c^2-16c+64=(c-8)^2$.
$\frac{9c}{c-8} + \frac{7c}{(c-8)^2} = \frac{9c(c-8)}{(c-8)^2} + \frac{7c}{(c-8)^2} = \frac{9c^2-72c+7c}{(c-8)^2} = \frac{9c^2-65c}{(c-8)^2} = \frac{c(9c-65)}{(c-8)^2}$.
Упростим выражение во вторых скобках. Разложим знаменатели $c^2-64=(c-8)(c+8)$ и числитель $8c+64=8(c+8)$.
$\frac{9c-65}{c^2-64} - \frac{8c+64}{c-8} = \frac{9c-65}{(c-8)(c+8)} - \frac{8(c+8)}{c-8} = \frac{9c-65}{(c-8)(c+8)} - \frac{8(c+8)^2}{(c-8)(c+8)}$.
Приведем к общему знаменателю:
$\frac{9c-65 - 8(c^2+16c+64)}{(c-8)(c+8)} = \frac{9c-65-8c^2-128c-512}{(c-8)(c+8)} = \frac{-8c^2-119c-577}{(c-8)(c+8)}$.
Теперь выполним деление:
$\frac{c(9c-65)}{(c-8)^2} : \frac{-8c^2-119c-577}{(c-8)(c+8)} = \frac{c(9c-65)}{(c-8)^2} \cdot \frac{(c-8)(c+8)}{-(8c^2+119c+577)}$.
Сократим $(c-8)$:
$\frac{c(9c-65)(c+8)}{(c-8)(-(8c^2+119c+577))} = -\frac{c(9c-65)(c+8)}{(c-8)(8c^2+119c+577)}$.
(Примечание: в данном задании, вероятно, присутствует опечатка в условии, так как выражение не упрощается до более простого вида).
Ответ: $-\frac{c(9c-65)(c+8)}{(c-8)(8c^2+119c+577)}$.

5) Упростим выражение в первых скобках, приведя к общему знаменателю $(a+b)(a^2+ab+b^2)$:
$\frac{a^2}{a+b} - \frac{a^3}{a^2+ab+b^2} = \frac{a^2(a^2+ab+b^2) - a^3(a+b)}{(a+b)(a^2+ab+b^2)} = \frac{a^4+a^3b+a^2b^2 - a^4-a^3b}{(a+b)(a^2+ab+b^2)} = \frac{a^2b^2}{(a+b)(a^2+ab+b^2)}$.
Упростим выражение во вторых скобках. $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.
$\frac{a}{a-b} - \frac{a^2}{a^2-b^2} = \frac{a(a+b)}{(a-b)(a+b)} - \frac{a^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2+ab-a^2}{(a-b)(a+b)} = \frac{ab}{(a-b)(a+b)}$.
Выполним деление:
$\frac{a^2b^2}{(a+b)(a^2+ab+b^2)} : \frac{ab}{(a-b)(a+b)} = \frac{a^2b^2}{(a+b)(a^2+ab+b^2)} \cdot \frac{(a-b)(a+b)}{ab}$.
Сократим общие множители $ab$ и $(a+b)$:
$\frac{ab(a-b)}{a^2+ab+b^2}$.
Ответ: $\frac{ab(a-b)}{a^2+ab+b^2}$.

6) Упростим выражение в скобках. $36-b^2 = (6-b)(6+b) = -(b-6)(b+6)$.
$\frac{b}{b+6} + \frac{36+b^2}{-(b-6)(b+6)} - \frac{b}{b-6} = \frac{b}{b+6} - \frac{36+b^2}{(b-6)(b+6)} - \frac{b}{b-6}$.
Общий знаменатель $(b-6)(b+6)$:
$\frac{b(b-6) - (36+b^2) - b(b+6)}{(b-6)(b+6)} = \frac{b^2-6b-36-b^2-b^2-6b}{b^2-36} = \frac{-b^2-12b-36}{b^2-36}$.
Вынесем минус из числителя и свернем его по формуле квадрата суммы: $-(b^2+12b+36) = -(b+6)^2$.
$\frac{-(b+6)^2}{(b-6)(b+6)} = \frac{-(b+6)}{b-6} = \frac{b+6}{6-b}$.
Теперь выполним деление. Упростим делитель: $\frac{6b+b^2}{(6-b)^2} = \frac{b(6+b)}{(6-b)^2}$.
$\frac{b+6}{6-b} : \frac{b(6+b)}{(6-b)^2} = \frac{b+6}{6-b} \cdot \frac{(6-b)^2}{b(b+6)}$.
Сократим общие множители $(b+6)$ и $(6-b)$:
$\frac{6-b}{b}$.
Ответ: $\frac{6-b}{b}$.

7) Выполним действия по порядку. Сначала деление в скобках. $x^3+1=(x+1)(x^2-x+1)$.
$\frac{2x}{x^3+1} : \frac{1-x}{x^2-x+1} = \frac{2x}{(x+1)(x^2-x+1)} \cdot \frac{x^2-x+1}{1-x} = \frac{2x}{(x+1)(1-x)} = \frac{2x}{1-x^2}$.
Теперь сложение в скобках:
$\frac{2x}{1-x^2} + \frac{2}{x-1} = \frac{2x}{1-x^2} - \frac{2}{1-x} = \frac{2x - 2(1+x)}{1-x^2} = \frac{2x-2-2x}{1-x^2} = \frac{-2}{1-x^2} = \frac{2}{x^2-1}$.
Результат выражения в скобках равен $\frac{2}{x^2-1}$. Теперь выполним оставшиеся действия.
$\frac{2}{x^2-1} \cdot \frac{x^2-2x+1}{4} : \frac{x-1}{x+1}$.
Выполним умножение. $x^2-1=(x-1)(x+1)$, $x^2-2x+1=(x-1)^2$.
$\frac{2}{(x-1)(x+1)} \cdot \frac{(x-1)^2}{4} = \frac{2(x-1)^2}{4(x-1)(x+1)} = \frac{x-1}{2(x+1)}$.
И, наконец, деление:
$\frac{x-1}{2(x+1)} : \frac{x-1}{x+1} = \frac{x-1}{2(x+1)} \cdot \frac{x+1}{x-1}$.
Сократим общие множители $(x-1)$ и $(x+1)$:
$\frac{1}{2}$.
Ответ: $\frac{1}{2}$.