Номер 866, страница 218 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 866, страница 218.

Условие.

866. Упростите выражение:

1) $\frac{x^{3k}}{y^{2n}} : \frac{x^{6k}}{y^{5n}}$, где k и n - целые числа;

2) $\frac{a^{k+5} \cdot b^{k+3}}{c^{3k+2}} : \frac{a^{k+3} \cdot b^{k+2}}{c^{2k+1}}$, где k - целое число;

3) $\frac{(x^n + 3y^n)^2 - 12x^ny^n}{x^{3n} + 27y^{3n}} : \frac{x^{2n} - 9y^{2n}}{(x^n - 3y^n)^2 + 12x^ny^n}$, где n - целое число.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Исходное выражение представляет собой деление двух дробей: $ \frac{x^{3k}}{y^{2n}} : \frac{x^{6k}}{y^{5n}} $. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую):
$ \frac{x^{3k}}{y^{2n}} : \frac{x^{6k}}{y^{5n}} = \frac{x^{3k}}{y^{2n}} \cdot \frac{y^{5n}}{x^{6k}} $
Теперь сгруппируем степени с одинаковыми основаниями: $ \frac{x^{3k}}{x^{6k}} \cdot \frac{y^{5n}}{y^{2n}} $
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются (используем свойство $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $):
$ x^{3k-6k} \cdot y^{5n-2n} = x^{-3k} \cdot y^{3n} $
Степень с отрицательным показателем $ a^{-n} $ равна $ \frac{1}{a^n} $. Поэтому $ x^{-3k} = \frac{1}{x^{3k}} $. Запишем итоговое выражение:
$ \frac{y^{3n}}{x^{3k}} $
Ответ: $ \frac{y^{3n}}{x^{3k}} $

2) Исходное выражение: $ \frac{a^{k+5} \cdot b^{k+3}}{c^{3k+2}} : \frac{a^{k+3} \cdot b^{k+2}}{c^{2k+1}} $.
Как и в предыдущем примере, заменяем деление на умножение на обратную дробь:
$ \frac{a^{k+5} \cdot b^{k+3}}{c^{3k+2}} \cdot \frac{c^{2k+1}}{a^{k+3} \cdot b^{k+2}} $
Сгруппируем степени с одинаковыми основаниями $ a, b $ и $ c $:
$ \frac{a^{k+5}}{a^{k+3}} \cdot \frac{b^{k+3}}{b^{k+2}} \cdot \frac{c^{2k+1}}{c^{3k+2}} $
Применим свойство $ \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} $ для каждого основания:
$ a^{(k+5)-(k+3)} \cdot b^{(k+3)-(k+2)} \cdot c^{(2k+1)-(3k+2)} $
Упростим выражения в показателях степеней:
$ a^{k+5-k-3} \cdot b^{k+3-k-2} \cdot c^{2k+1-3k-2} = a^2 \cdot b^1 \cdot c^{-k-1} $
Перепишем выражение без отрицательных показателей, поместив $ c^{-k-1} = c^{-(k+1)} $ в знаменатель как $ c^{k+1} $: $ \frac{a^2b}{c^{k+1}} $
Ответ: $ \frac{a^2b}{c^{k+1}} $

3) Дано выражение: $ \frac{(x^n + 3y^n)^2 - 12x^n y^n}{x^{3n} + 27y^{3n}} : \frac{x^{2n} - 9y^{2n}}{(x^n - 3y^n)^2 + 12x^n y^n} $.
Для упрощения этого выражения сначала преобразуем числители и знаменатели дробей.
1. Числитель первой дроби: $ (x^n + 3y^n)^2 - 12x^n y^n $.
Раскроем квадрат суммы: $ (x^n)^2 + 2 \cdot x^n \cdot 3y^n + (3y^n)^2 - 12x^n y^n = x^{2n} + 6x^n y^n + 9y^{2n} - 12x^n y^n $.
Приведем подобные слагаемые: $ x^{2n} - 6x^n y^n + 9y^{2n} $.
Это выражение является полным квадратом разности: $ (x^n - 3y^n)^2 $.
2. Знаменатель первой дроби: $ x^{3n} + 27y^{3n} $.
Это сумма кубов $ (x^n)^3 + (3y^n)^3 $. Разложим по формуле $ a^3 + b^3 = (a+b)(a^2-ab+b^2) $: $ (x^n + 3y^n)(x^{2n} - 3x^n y^n + 9y^{2n}) $.
3. Числитель второй дроби: $ x^{2n} - 9y^{2n} $.
Это разность квадратов $ (x^n)^2 - (3y^n)^2 $. Разложим по формуле $ a^2-b^2 = (a-b)(a+b) $: $ (x^n - 3y^n)(x^n + 3y^n) $.
4. Знаменатель второй дроби: $ (x^n - 3y^n)^2 + 12x^n y^n $.
Раскроем квадрат разности: $ (x^n)^2 - 2 \cdot x^n \cdot 3y^n + (3y^n)^2 + 12x^n y^n = x^{2n} - 6x^n y^n + 9y^{2n} + 12x^n y^n $.
Приведем подобные слагаемые: $ x^{2n} + 6x^n y^n + 9y^{2n} $.
Это выражение является полным квадратом суммы: $ (x^n + 3y^n)^2 $.
Теперь подставим упрощенные части обратно в выражение и выполним деление (умножение на обратную дробь):
$ \frac{(x^n - 3y^n)^2}{(x^n + 3y^n)(x^{2n} - 3x^n y^n + 9y^{2n})} \cdot \frac{(x^n + 3y^n)^2}{(x^n - 3y^n)(x^n + 3y^n)} $
Объединим множители в числителе и знаменателе:
$ \frac{(x^n - 3y^n)^2 \cdot (x^n + 3y^n)^2}{(x^n - 3y^n) \cdot (x^n + 3y^n)^2 \cdot (x^{2n} - 3x^n y^n + 9y^{2n})} $
Сократим общие множители $ (x^n - 3y^n) $ и $ (x^n + 3y^n)^2 $:
$ \frac{x^n - 3y^n}{x^{2n} - 3x^n y^n + 9y^{2n}} $
Ответ: $ \frac{x^n - 3y^n}{x^{2n} - 3x^n y^n + 9y^{2n}} $