Номер 877, страница 220 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 877, страница 220.

Условие.

877. Упростите выражение:

1) $\frac{3}{5}x^{-3}y^{5} \cdot \frac{5}{9}x^{4}y^{-7}$;

2) $0,2a^{12}b^{-9} \cdot 50a^{-10}b^{10}$;

3) $-0,3a^{10}b^{7} \cdot 5a^{-8}b^{-6}$;

4) $0,36a^{-5}b^{6}c^{3} \cdot \left(-2\frac{2}{9}\right)a^{4}b^{-4}c^{-5}$;

5) $2x^{7} \cdot \left(-3x^{-2}y^{3}\right)^{3}$;

6) $(a^{2}b^{9})^{-3} \cdot (-2a^{4}b^{10})$;

7) $(-5a^{-3}b^{2}c^{-2})^{-2} \cdot (0,1a^{2}b^{-3}c)^{-3}$;

8) $0,1m^{-5}n^{4} \cdot (0,01m^{-3}n)^{-2}$;

9) $-6\frac{1}{4}a^{-7}b^{4} \cdot \left(\frac{5}{2}a^{-2}b^{2}\right)^{-3}$;

10) $-(4a^{-4}b^{3})^{-2} \cdot \left(-\frac{1}{8}a^{3}b^{-3}\right)^{-3}$;

11) $\frac{19a^{-15}}{33b^{-14}} \cdot \frac{11b^{-11}}{76a^{-17}}$;

12) $\left(\frac{9x^{-3}}{5y^{-2}}\right)^{-2} \cdot (27x^{-2}y^{4})^{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для упрощения выражения $\frac{3}{5}x^{-3}y^5 \cdot \frac{5}{9}x^4y^{-7}$ сгруппируем числовые коэффициенты и степени с одинаковыми основаниями.
$(\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{9}) \cdot (x^{-3} \cdot x^4) \cdot (y^5 \cdot y^{-7})$
Перемножим коэффициенты: $\frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$.
При умножении степеней с одинаковыми основаниями их показатели складываются: $x^{-3+4} = x^1 = x$ и $y^{5+(-7)} = y^{-2}$.
Собираем все вместе: $\frac{1}{3}xy^{-2}$.
Ответ: $\frac{1}{3}xy^{-2}$

2) $0,2a^{12}b^{-9} \cdot 50a^{-10}b^{10}$
Сгруппируем и перемножим коэффициенты и степени:
$(0,2 \cdot 50) \cdot (a^{12} \cdot a^{-10}) \cdot (b^{-9} \cdot b^{10})$
$0,2 \cdot 50 = 10$.
$a^{12} \cdot a^{-10} = a^{12-10} = a^2$.
$b^{-9} \cdot b^{10} = b^{-9+10} = b^1 = b$.
Результат: $10a^2b$.
Ответ: $10a^2b$

3) $-0,3a^{10}b^7 \cdot 5a^{-8}b^{-6}$
Сгруппируем и перемножим коэффициенты и степени:
$(-0,3 \cdot 5) \cdot (a^{10} \cdot a^{-8}) \cdot (b^7 \cdot b^{-6})$
$-0,3 \cdot 5 = -1,5$.
$a^{10-8} = a^2$.
$b^{7-6} = b^1 = b$.
Результат: $-1,5a^2b$.
Ответ: $-1,5a^2b$

4) $0,36a^{-5}b^6c^3 \cdot (-2\frac{2}{9})a^4b^{-4}c^{-5}$
Преобразуем десятичную дробь и смешанное число в обыкновенные дроби: $0,36 = \frac{36}{100} = \frac{9}{25}$ и $-2\frac{2}{9} = -\frac{20}{9}$.
Выполним умножение: $(\frac{9}{25} \cdot -\frac{20}{9}) \cdot (a^{-5}a^4) \cdot (b^6b^{-4}) \cdot (c^3c^{-5})$.
Коэффициенты: $\frac{9}{25} \cdot (-\frac{20}{9}) = -\frac{20}{25} = -0,8$.
Степени: $a^{-5+4}=a^{-1}$; $b^{6-4}=b^2$; $c^{3-5}=c^{-2}$.
Результат: $-0,8a^{-1}b^2c^{-2}$.
Ответ: $-0,8a^{-1}b^2c^{-2}$

5) $2x^7 \cdot (-3x^{-2}y^3)^3$
Сначала возведем второй множитель в куб, используя правило $(xyz)^n = x^n y^n z^n$:
$(-3x^{-2}y^3)^3 = (-3)^3 \cdot (x^{-2})^3 \cdot (y^3)^3 = -27x^{-6}y^9$.
Теперь умножим на первый множитель: $2x^7 \cdot (-27x^{-6}y^9)$.
$(2 \cdot -27) \cdot (x^7 \cdot x^{-6}) \cdot y^9 = -54x^{7-6}y^9 = -54xy^9$.
Ответ: $-54xy^9$

6) $(a^2b^9)^{-3} \cdot (-2a^4b^{10})$
Возведем первый множитель в степень -3: $(a^2)^{-3}(b^9)^{-3} = a^{-6}b^{-27}$.
Умножим на второй множитель: $a^{-6}b^{-27} \cdot (-2a^4b^{10})$.
Сгруппируем: $-2 \cdot (a^{-6}a^4) \cdot (b^{-27}b^{10}) = -2a^{-6+4}b^{-27+10} = -2a^{-2}b^{-17}$.
Ответ: $-2a^{-2}b^{-17}$

7) $(-5a^{-3}b^2c^{-2})^{-2} \cdot (0,1a^2b^{-3}c)^{-3}$
Упростим каждый множитель отдельно.
Первый: $(-5)^{-2} \cdot (a^{-3})^{-2} \cdot (b^2)^{-2} \cdot (c^{-2})^{-2} = \frac{1}{25}a^6b^{-4}c^4$.
Второй ($0,1 = 10^{-1}$): $(10^{-1})^{-3} \cdot (a^2)^{-3} \cdot (b^{-3})^{-3} \cdot c^{-3} = 10^3a^{-6}b^9c^{-3} = 1000a^{-6}b^9c^{-3}$.
Перемножим результаты: $(\frac{1}{25}a^6b^{-4}c^4) \cdot (1000a^{-6}b^9c^{-3})$.
$(\frac{1}{25} \cdot 1000) \cdot (a^6a^{-6}) \cdot (b^{-4}b^9) \cdot (c^4c^{-3}) = 40 \cdot a^0 \cdot b^5 \cdot c^1 = 40b^5c$.
Ответ: $40b^5c$

8) $0,1m^{-5}n^4 \cdot (0,01m^{-3}n)^{-2}$
Упростим второй множитель ($0,01 = 10^{-2}$): $(10^{-2})^{-2} \cdot (m^{-3})^{-2} \cdot n^{-2} = 10^4m^6n^{-2} = 10000m^6n^{-2}$.
Перемножим: $0,1m^{-5}n^4 \cdot (10000m^6n^{-2})$.
$(0,1 \cdot 10000) \cdot (m^{-5}m^6) \cdot (n^4n^{-2}) = 1000 \cdot m^1 \cdot n^2 = 1000mn^2$.
Ответ: $1000mn^2$

9) $-6\frac{1}{4}a^{-7}b^4 \cdot (\frac{5}{2}a^{-2}b^2)^{-3}$
Преобразуем $-6\frac{1}{4} = -\frac{25}{4}$.
Упростим второй множитель: $(\frac{5}{2})^{-3} \cdot (a^{-2})^{-3} \cdot (b^2)^{-3} = (\frac{2}{5})^3 a^6 b^{-6} = \frac{8}{125}a^6b^{-6}$.
Перемножим: $(-\frac{25}{4}a^{-7}b^4) \cdot (\frac{8}{125}a^6b^{-6})$.
$(-\frac{25}{4} \cdot \frac{8}{125}) \cdot (a^{-7}a^6) \cdot (b^4b^{-6}) = -\frac{2}{5}a^{-1}b^{-2} = -0,4a^{-1}b^{-2}$.
Ответ: $-0,4a^{-1}b^{-2}$

10) $-(4a^{-4}b^3)^{-2} \cdot (-\frac{1}{8}a^3b^{-3})^{-3}$
Упростим первый множитель: $-(4^{-2}a^8b^{-6}) = -\frac{1}{16}a^8b^{-6}$.
Упростим второй множитель: $(-\frac{1}{8})^{-3} \cdot (a^3)^{-3} \cdot (b^{-3})^{-3} = (-8)^3a^{-9}b^9 = -512a^{-9}b^9$.
Перемножим: $(-\frac{1}{16}a^8b^{-6}) \cdot (-512a^{-9}b^9)$.
$(-\frac{1}{16} \cdot -512) \cdot (a^8a^{-9}) \cdot (b^{-6}b^9) = 32a^{-1}b^3$.
Ответ: $32a^{-1}b^3$

11) $\frac{19a^{-15}}{33b^{-14}} \cdot \frac{11b^{-11}}{76a^{-17}}$
Сгруппируем коэффициенты и переменные: $(\frac{19}{33} \cdot \frac{11}{76}) \cdot (\frac{a^{-15}}{a^{-17}}) \cdot (\frac{b^{-11}}{b^{-14}})$.
Упростим коэффициенты: $\frac{19 \cdot 11}{3 \cdot 11 \cdot 4 \cdot 19} = \frac{1}{12}$.
При делении степеней показатели вычитаются: $a^{-15 - (-17)} = a^2$ и $b^{-11 - (-14)} = b^3$.
Результат: $\frac{1}{12}a^2b^3$.
Ответ: $\frac{1}{12}a^2b^3$

12) $(\frac{9x^{-3}}{5y^{-2}})^{-2} \cdot (27x^{-2}y^4)^2$
Упростим первый множитель: $\frac{(9x^{-3})^{-2}}{(5y^{-2})^{-2}} = \frac{9^{-2}(x^{-3})^{-2}}{5^{-2}(y^{-2})^{-2}} = \frac{9^{-2}x^6}{5^{-2}y^4} = \frac{5^2x^6}{9^2y^4} = \frac{25x^6}{81y^4}$.
Упростим второй множитель: $27^2 \cdot (x^{-2})^2 \cdot (y^4)^2 = 729x^{-4}y^8$.
Перемножим результаты: $(\frac{25x^6}{81y^4}) \cdot (729x^{-4}y^8)$.
Сгруппируем: $(\frac{25 \cdot 729}{81}) \cdot (x^6x^{-4}) \cdot (\frac{y^8}{y^4}) = (25 \cdot 9) \cdot x^{6-4} \cdot y^{8-4} = 225x^2y^4$.
Ответ: $225x^2y^4$