Номер 884, страница 221 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 884, страница 221.

Условие.

884. Постройте в одной системе координат графики функций $y = -\frac{4}{x}$ и $y = x - 3$ и укажите координаты точек их пересечения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения данной задачи необходимо построить графики функций $y = \frac{4}{x}$ и $y = x - 3$ в одной координатной плоскости, а затем найти координаты их точек пересечения аналитическим методом.

Построение графиков

1. График функции $y = \frac{4}{x}$ — это гипербола. Так как коэффициент $k=4$ положителен, ветви гиперболы находятся в I и III координатных четвертях. Ось абсцисс ($y=0$) и ось ординат ($x=0$) являются асимптотами. Для построения графика составим таблицу с несколькими точками:

$x$	-4	-2	-1	1	2	4
$y$	-1	-2	-4	4	2	1

2. График функции $y = x - 3$ — это прямая. Для ее построения достаточно двух точек. Удобно взять точки пересечения с осями координат:

• При $x=0$, $y = 0 - 3 = -3$. Получаем точку $(0, -3)$.
• При $y=0$, $0 = x - 3$, откуда $x=3$. Получаем точку $(3, 0)$.

Построив эти точки в системе координат и соединив их, получаем графики гиперболы и прямой.

Нахождение координат точек пересечения

Чтобы найти точные координаты точек пересечения, необходимо решить систему уравнений:

$ \begin{cases} y = \frac{4}{x} \\ y = x - 3 \end{cases} $

Приравняем правые части уравнений:

$\frac{4}{x} = x - 3$

Умножим обе части уравнения на $x$ (это допустимо, так как $x \ne 0$ из области определения первой функции):

$4 = x(x - 3)$

$4 = x^2 - 3x$

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2+bx+c=0$:

$x^2 - 3x - 4 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Воспользуемся теоремой Виета: сумма корней равна $3$, а их произведение равно $-4$. Корнями являются $x_1 = 4$ и $x_2 = -1$.

Теперь найдем соответствующие ординаты ($y$), подставив найденные значения $x$ в уравнение прямой $y = x - 3$:

• Если $x_1 = 4$, то $y_1 = 4 - 3 = 1$.
  Первая точка пересечения: $(4, 1)$.
• Если $x_2 = -1$, то $y_2 = -1 - 3 = -4$.
  Вторая точка пересечения: $(-1, -4)$.

Ответ: Координаты точек пересечения графиков: $(4, 1)$ и $(-1, -4)$.