Номер 889, страница 222 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 889, страница 222.

Условие.

889. Найдите значение выражения:

1) $(\sqrt{3})^2 - \sqrt{1.69};$

2) $(3\sqrt{15})^2 - (15\sqrt{3})^2;$

3) $50 \cdot \left(-\frac{1}{5}\sqrt{7}\right)^2 - \frac{1}{4} \cdot (3\sqrt{2})^2;$

4) $\sqrt{1089} - \left(\frac{1}{6}\sqrt{216}\right)^2;$

5) $\frac{4}{9}\sqrt{39.69} - \frac{5}{49}\sqrt{59.29} + \left(-\frac{1}{5}\sqrt{75}\right)^2;$

6) $\frac{1}{2}\sqrt{17^2 - 15^2} + \left(2\sqrt{5\frac{1}{2}}\right)^2 - 0.3\sqrt{900}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) $(\sqrt{3})^2 - \sqrt{1,69}$

По определению арифметического квадратного корня, $(\sqrt{a})^2 = a$ для любого неотрицательного числа $a$. Следовательно, $(\sqrt{3})^2 = 3$.

Далее, найдем значение $\sqrt{1,69}$. Поскольку $1,3^2 = 1,3 \cdot 1,3 = 1,69$, то $\sqrt{1,69} = 1,3$.

Теперь выполним вычитание: $3 - 1,3 = 1,7$.

Ответ: $1,7$.

2) $(3\sqrt{15})^2 - (15\sqrt{3})^2$

Используем свойство степени $(ab)^n = a^n b^n$ для каждого члена выражения.

Возведем в квадрат первый член: $(3\sqrt{15})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{15})^2 = 9 \cdot 15 = 135$.

Возведем в квадрат второй член: $(15\sqrt{3})^2 = 15^2 \cdot (\sqrt{3})^2 = 225 \cdot 3 = 675$.

Выполним вычитание: $135 - 675 = -540$.

Ответ: $-540$.

3) $50 \cdot (-\frac{1}{5}\sqrt{7})^2 - \frac{1}{4} \cdot (3\sqrt{2})^2$

Сначала вычислим значение первого произведения. Возведем в квадрат выражение в скобках: $(-\frac{1}{5}\sqrt{7})^2 = (-\frac{1}{5})^2 \cdot (\sqrt{7})^2 = \frac{1}{25} \cdot 7 = \frac{7}{25}$.

Теперь умножим результат на 50: $50 \cdot \frac{7}{25} = \frac{50 \cdot 7}{25} = 2 \cdot 7 = 14$.

Далее вычислим значение второго произведения. Возведем в квадрат выражение в скобках: $(3\sqrt{2})^2 = 3^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$.

Умножим результат на $\frac{1}{4}$: $\frac{1}{4} \cdot 18 = \frac{18}{4} = \frac{9}{2} = 4,5$.

Наконец, выполним вычитание: $14 - 4,5 = 9,5$.

Ответ: $9,5$.

4) $\sqrt{1089} - (\frac{1}{6}\sqrt{216})^2$

Найдем значение $\sqrt{1089}$. Поскольку $30^2 = 900$ и $40^2=1600$, корень находится между 30 и 40. Число 1089 оканчивается на 9, значит, его корень должен оканчиваться на 3 или 7. Проверим 33: $33^2 = 1089$. Таким образом, $\sqrt{1089} = 33$.

Теперь упростим вторую часть выражения: $(\frac{1}{6}\sqrt{216})^2 = (\frac{1}{6})^2 \cdot (\sqrt{216})^2 = \frac{1}{36} \cdot 216$.

Вычислим частное: $\frac{216}{36} = 6$.

Выполним вычитание: $33 - 6 = 27$.

Ответ: $27$.

5) $\frac{4}{9}\sqrt{39,69} - \frac{5}{49}\sqrt{59,29} + (-\frac{1}{5}\sqrt{75})^2$

Вычислим каждое слагаемое по отдельности.

Первое слагаемое: $\frac{4}{9}\sqrt{39,69}$. Так как $6,3^2 = 39,69$, то $\sqrt{39,69} = 6,3$. Тогда $\frac{4}{9} \cdot 6,3 = \frac{4}{9} \cdot \frac{63}{10} = \frac{4 \cdot 7}{10} = \frac{28}{10} = 2,8$.

Второе слагаемое: $\frac{5}{49}\sqrt{59,29}$. Так как $7,7^2 = 59,29$, то $\sqrt{59,29} = 7,7$. Тогда $\frac{5}{49} \cdot 7,7 = \frac{5}{49} \cdot \frac{77}{10} = \frac{5 \cdot 11 \cdot 7}{7 \cdot 7 \cdot 10} = \frac{55}{70} = \frac{11}{14}$.

Третье слагаемое: $(-\frac{1}{5}\sqrt{75})^2 = (\frac{1}{5})^2 \cdot (\sqrt{75})^2 = \frac{1}{25} \cdot 75 = 3$.

Теперь объединим все части: $2,8 - \frac{11}{14} + 3 = 5,8 - \frac{11}{14} = \frac{58}{10} - \frac{11}{14} = \frac{29}{5} - \frac{11}{14}$.

Приведем дроби к общему знаменателю 70: $\frac{29 \cdot 14}{70} - \frac{11 \cdot 5}{70} = \frac{406 - 55}{70} = \frac{351}{70}$.

Эту дробь можно записать в виде смешанного числа: $5\frac{1}{70}$.

Ответ: $\frac{351}{70}$ или $5\frac{1}{70}$.

6) $\frac{1}{2}\sqrt{17^2 - 15^2} + (2\sqrt{5\frac{1}{2}})^2 - 0,3\sqrt{900}$

Рассмотрим каждую часть выражения по очереди.

Первая часть: $\frac{1}{2}\sqrt{17^2 - 15^2}$. Используем формулу разности квадратов под корнем: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$. Получаем $\sqrt{17^2 - 15^2} = \sqrt{(17-15)(17+15)} = \sqrt{2 \cdot 32} = \sqrt{64} = 8$. Тогда всё выражение равно $\frac{1}{2} \cdot 8 = 4$.

Вторая часть: $(2\sqrt{5\frac{1}{2}})^2$. Переведем смешанное число $5\frac{1}{2}$ в неправильную дробь $\frac{11}{2}$. Тогда $(2\sqrt{\frac{11}{2}})^2 = 2^2 \cdot (\sqrt{\frac{11}{2}})^2 = 4 \cdot \frac{11}{2} = 22$.

Третья часть: $0,3\sqrt{900}$. Так как $\sqrt{900} = 30$, то $0,3 \cdot 30 = 9$.

Теперь сложим и вычтем полученные значения: $4 + 22 - 9 = 26 - 9 = 17$.

Ответ: $17$.