Номер 896, страница 223 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 896, страница 223.

Условие.

896. Упростите выражение:

1) $\sqrt{(10 - \sqrt{11})^2}$;

2) $\sqrt{(\sqrt{10} - 11)^2}$;

3) $\sqrt{(\sqrt{10} - \sqrt{11})^2}$;

4) $\sqrt{(3 - \sqrt{6})^2} + \sqrt{(2 - \sqrt{6})^2}$;

5) $\sqrt{(\sqrt{24} - 5)^2} - \sqrt{(\sqrt{24} - 4)^2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения всех задач используется основное свойство арифметического квадратного корня: $\sqrt{a^2} = |a|$, где $|a|$ – модуль числа $a$. Напомним, что модуль раскрывается по правилу:

• $|a| = a$, если $a \ge 0$
• $|a| = -a$, если $a < 0$

1) $\sqrt{(10 - \sqrt{11})^2}$

Применяем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$:

$\sqrt{(10 - \sqrt{11})^2} = |10 - \sqrt{11}|$

Чтобы раскрыть модуль, определим знак выражения $10 - \sqrt{11}$. Для этого сравним числа $10$ и $\sqrt{11}$.

Возведем оба числа в квадрат: $10^2 = 100$ и $(\sqrt{11})^2 = 11$.

Поскольку $100 > 11$, то и $10 > \sqrt{11}$. Значит, разность $10 - \sqrt{11}$ положительна.

Следовательно, $|10 - \sqrt{11}| = 10 - \sqrt{11}$.

Ответ: $10 - \sqrt{11}$

2) $\sqrt{(\sqrt{10} - 11)^2}$

Применяем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$:

$\sqrt{(\sqrt{10} - 11)^2} = |\sqrt{10} - 11|$

Определим знак выражения $\sqrt{10} - 11$. Сравним числа $\sqrt{10}$ и $11$.

Возведем оба числа в квадрат: $(\sqrt{10})^2 = 10$ и $11^2 = 121$.

Поскольку $10 < 121$, то и $\sqrt{10} < 11$. Значит, разность $\sqrt{10} - 11$ отрицательна.

Следовательно, $|\sqrt{10} - 11| = -(\sqrt{10} - 11) = 11 - \sqrt{10}$.

Ответ: $11 - \sqrt{10}$

3) $\sqrt{(\sqrt{10} - \sqrt{11})^2}$

Применяем свойство $\sqrt{a^2} = |a|$:

$\sqrt{(\sqrt{10} - \sqrt{11})^2} = |\sqrt{10} - \sqrt{11}|$

Определим знак выражения $\sqrt{10} - \sqrt{11}$. Сравним числа $\sqrt{10}$ и $\sqrt{11}$.

Поскольку подкоренные выражения $10 < 11$, то и $\sqrt{10} < \sqrt{11}$. Значит, разность $\sqrt{10} - \sqrt{11}$ отрицательна.

Следовательно, $|\sqrt{10} - \sqrt{11}| = -(\sqrt{10} - \sqrt{11}) = \sqrt{11} - \sqrt{10}$.

Ответ: $\sqrt{11} - \sqrt{10}$

4) $\sqrt{(3 - \sqrt{6})^2} + \sqrt{(2 - \sqrt{6})^2}$

Упростим каждое слагаемое по отдельности, используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$.

Первое слагаемое: $\sqrt{(3 - \sqrt{6})^2} = |3 - \sqrt{6}|$.

Сравним $3$ и $\sqrt{6}$: $3^2=9$, $(\sqrt{6})^2=6$. Так как $9 > 6$, то $3 > \sqrt{6}$. Выражение $3 - \sqrt{6}$ положительно, поэтому $|3 - \sqrt{6}| = 3 - \sqrt{6}$.

Второе слагаемое: $\sqrt{(2 - \sqrt{6})^2} = |2 - \sqrt{6}|$.

Сравним $2$ и $\sqrt{6}$: $2^2=4$, $(\sqrt{6})^2=6$. Так как $4 < 6$, то $2 < \sqrt{6}$. Выражение $2 - \sqrt{6}$ отрицательно, поэтому $|2 - \sqrt{6}| = -(2 - \sqrt{6}) = \sqrt{6} - 2$.

Теперь сложим полученные результаты:

$(3 - \sqrt{6}) + (\sqrt{6} - 2) = 3 - \sqrt{6} + \sqrt{6} - 2 = 1$.

Ответ: $1$

5) $\sqrt{(\sqrt{24} - 5)^2} - \sqrt{(\sqrt{24} - 4)^2}$

Упростим уменьшаемое и вычитаемое по отдельности, используя свойство $\sqrt{a^2} = |a|$.

Уменьшаемое: $\sqrt{(\sqrt{24} - 5)^2} = |\sqrt{24} - 5|$.

Сравним $\sqrt{24}$ и $5$: $(\sqrt{24})^2=24$, $5^2=25$. Так как $24 < 25$, то $\sqrt{24} < 5$. Выражение $\sqrt{24} - 5$ отрицательно, поэтому $|\sqrt{24} - 5| = -(\sqrt{24} - 5) = 5 - \sqrt{24}$.

Вычитаемое: $\sqrt{(\sqrt{24} - 4)^2} = |\sqrt{24} - 4|$.

Сравним $\sqrt{24}$ и $4$: $(\sqrt{24})^2=24$, $4^2=16$. Так как $24 > 16$, то $\sqrt{24} > 4$. Выражение $\sqrt{24} - 4$ положительно, поэтому $|\sqrt{24} - 4| = \sqrt{24} - 4$.

Теперь выполним вычитание:

$(5 - \sqrt{24}) - (\sqrt{24} - 4) = 5 - \sqrt{24} - \sqrt{24} + 4 = 9 - 2\sqrt{24}$.

Упростим корень: $\sqrt{24} = \sqrt{4 \cdot 6} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{6} = 2\sqrt{6}$.

Подставим обратно в выражение: $9 - 2(2\sqrt{6}) = 9 - 4\sqrt{6}$.

Ответ: $9 - 4\sqrt{6}$