Номер 902, страница 224 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 902, страница 224.

Условие.

902. Сравните числа:

1) $5\sqrt{6}$ и $6\sqrt{5}$;

2) $\sqrt{55}$ и $3\sqrt{6}$;

3) $0,3\sqrt{3\frac{1}{2}}$ и $\sqrt{0,3}$;

4) $\frac{3}{7}\sqrt{16\frac{1}{3}}$ и $\frac{3}{4}\sqrt{5\frac{1}{3}}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

1) Чтобы сравнить числа $5\sqrt{6}$ и $6\sqrt{5}$, внесем множители под знак корня. Для этого возведем множитель перед корнем в квадрат и умножим его на подкоренное выражение. Так как оба числа положительны, больше то число, у которого подкоренное выражение больше.

Для первого числа: $5\sqrt{6} = \sqrt{5^2 \cdot 6} = \sqrt{25 \cdot 6} = \sqrt{150}$.

Для второго числа: $6\sqrt{5} = \sqrt{6^2 \cdot 5} = \sqrt{36 \cdot 5} = \sqrt{180}$.

Теперь сравним полученные подкоренные выражения: $150$ и $180$.

Так как $150 < 180$, то и $\sqrt{150} < \sqrt{180}$.

Следовательно, $5\sqrt{6} < 6\sqrt{5}$.

Ответ: $5\sqrt{6} < 6\sqrt{5}$.

2) Сравним числа $\sqrt{55}$ и $3\sqrt{6}$. Для этого представим второе число в виде корня, внеся множитель $3$ под знак корня.

$3\sqrt{6} = \sqrt{3^2 \cdot 6} = \sqrt{9 \cdot 6} = \sqrt{54}$.

Теперь сравним $\sqrt{55}$ и $\sqrt{54}$.

Так как $55 > 54$, то $\sqrt{55} > \sqrt{54}$.

Следовательно, $\sqrt{55} > 3\sqrt{6}$.

Ответ: $\sqrt{55} > 3\sqrt{6}$.

3) Сравним числа $0,3\sqrt{3\frac{1}{2}}$ и $\sqrt{0,3}$. Так как оба числа положительны, мы можем сравнить их квадраты. Знак неравенства при этом сохранится.

Возведем в квадрат первое число: $(0,3\sqrt{3\frac{1}{2}})^2 = 0,3^2 \cdot (\sqrt{3\frac{1}{2}})^2 = 0,09 \cdot 3\frac{1}{2}$.

Переведем смешанное число в десятичную дробь: $3\frac{1}{2} = 3,5$.

Вычислим значение: $0,09 \cdot 3,5 = 0,315$.

Возведем в квадрат второе число: $(\sqrt{0,3})^2 = 0,3$.

Теперь сравним полученные результаты: $0,315$ и $0,3$.

Так как $0,315 > 0,3$, то и $(0,3\sqrt{3\frac{1}{2}})^2 > (\sqrt{0,3})^2$.

Следовательно, $0,3\sqrt{3\frac{1}{2}} > \sqrt{0,3}$.

Ответ: $0,3\sqrt{3\frac{1}{2}} > \sqrt{0,3}$.

4) Сравним числа $\frac{3}{7}\sqrt{16\frac{1}{3}}$ и $\frac{3}{4}\sqrt{5\frac{1}{3}}$. Сначала преобразуем смешанные числа под корнями в неправильные дроби.

$16\frac{1}{3} = \frac{16 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{49}{3}$.

$5\frac{1}{3} = \frac{5 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{16}{3}$.

Теперь наши выражения выглядят так: $\frac{3}{7}\sqrt{\frac{49}{3}}$ и $\frac{3}{4}\sqrt{\frac{16}{3}}$.

Упростим каждое выражение:

$\frac{3}{7}\sqrt{\frac{49}{3}} = \frac{3}{7} \cdot \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{3}} = \frac{3}{7} \cdot \frac{7}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$.

$\frac{3}{4}\sqrt{\frac{16}{3}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{\sqrt{16}}{\sqrt{3}} = \frac{3}{4} \cdot \frac{4}{\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \frac{3\sqrt{3}}{(\sqrt{3})^2} = \frac{3\sqrt{3}}{3} = \sqrt{3}$.

Оба выражения равны $\sqrt{3}$.

Следовательно, числа равны.

Ответ: $\frac{3}{7}\sqrt{16\frac{1}{3}} = \frac{3}{4}\sqrt{5\frac{1}{3}}$.