Номер 909, страница 225 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 909, страница 225.

Условие.

909. Упростите выражение:

1) $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3} - \frac{x}{x-9}$

2) $(\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{c}}) : \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Исходное выражение: $\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3} - \frac{x}{x-9}$

Для упрощения этого выражения необходимо привести дроби к общему знаменателю. Заметим, что знаменатель второй дроби, $x-9$, является разностью квадратов, поскольку $x = (\sqrt{x})^2$ и $9 = 3^2$.

Разложим знаменатель $x-9$ на множители:

$x - 9 = (\sqrt{x})^2 - 3^2 = (\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)$

Теперь видно, что общий знаменатель для обеих дробей — это $(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)$, или $x-9$.

Приведем первую дробь к общему знаменателю, умножив ее числитель и знаменатель на $(\sqrt{x}+3)$:

$\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3} = \frac{\sqrt{x}(\sqrt{x}+3)}{(\sqrt{x}-3)(\sqrt{x}+3)} = \frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} + \sqrt{x} \cdot 3}{x-9} = \frac{x+3\sqrt{x}}{x-9}$

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{x+3\sqrt{x}}{x-9} - \frac{x}{x-9} = \frac{(x+3\sqrt{x}) - x}{x-9} = \frac{x+3\sqrt{x}-x}{x-9} = \frac{3\sqrt{x}}{x-9}$

Выражение определено при $x \ge 0$ и $x \neq 9$.

Ответ: $\frac{3\sqrt{x}}{x-9}$

2)

Исходное выражение: $(\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}} + \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{c}}) : \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}$

Можно решить эту задачу, сначала выполнив сложение в скобках, а затем деление. Однако есть более изящный способ: можно воспользоваться дистрибутивным свойством деления относительно сложения, то есть разделить каждое слагаемое в скобках на делитель.

$(a+d):k = a:k + d:k$

Применим это свойство к нашему выражению:

$(\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}} : \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}}) + (\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{c}} : \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}})$

Упростим первое слагаемое. Здесь мы делим выражение на само себя, что дает в результате 1 (при условии, что делитель не равен нулю, что следует из области определения).

$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}} : \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}} = 1$

Теперь упростим второе слагаемое. Деление на дробь эквивалентно умножению на обратную (перевернутую) дробь:

$\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{c}} : \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{b}-\sqrt{c}} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{c}} \cdot \frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{\sqrt{b}}$

Сократим общий множитель $\sqrt{b}$ в числителе и знаменателе:

$\frac{1}{\sqrt{c}} \cdot (\sqrt{b}-\sqrt{c}) = \frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{\sqrt{c}}$

Осталось сложить полученные результаты:

$1 + \frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{\sqrt{c}}$

Приведем 1 к дроби со знаменателем $\sqrt{c}$:

$\frac{\sqrt{c}}{\sqrt{c}} + \frac{\sqrt{b}-\sqrt{c}}{\sqrt{c}} = \frac{\sqrt{c} + (\sqrt{b}-\sqrt{c})}{\sqrt{c}} = \frac{\sqrt{c} + \sqrt{b} - \sqrt{c}}{\sqrt{c}} = \frac{\sqrt{b}}{\sqrt{c}}$

Выражение определено при $b > 0$, $c > 0$ и $b \neq c$.

Ответ: $\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{c}}$