Номер 912, страница 225 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 912, страница 225.

Условие.

912. Докажите, что:

$\sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}} = 1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для доказательства данного равенства будем последовательно упрощать левую часть, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ и свойство произведения корней $\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{xy}$.

Обозначим все выражение в левой части через $L$:
$L = \sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}$

Шаг 1:
Рассмотрим произведение последних двух множителей. Они имеют вид $\sqrt{2+A} \cdot \sqrt{2-A}$, где $A = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}$.
$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}} = \sqrt{(2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}})(2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}})}$
Применяя формулу разности квадратов под корнем, получаем:
$\sqrt{2^2 - (\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}})^2} = \sqrt{4 - (2+\sqrt{2+\sqrt{3}})} = \sqrt{4 - 2 - \sqrt{2+\sqrt{3}}} = \sqrt{2 - \sqrt{2+\sqrt{3}}}$

Теперь выражение $L$ принимает вид:
$L = \sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2+\sqrt{3}}}$

Шаг 2:
Снова рассмотрим произведение последних двух множителей. Они имеют вид $\sqrt{2+B} \cdot \sqrt{2-B}$, где $B = \sqrt{2+\sqrt{3}}$.
$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2+\sqrt{3}}} = \sqrt{(2+\sqrt{2+\sqrt{3}})(2-\sqrt{2+\sqrt{3}})}$
Применяя формулу разности квадратов под корнем, получаем:
$\sqrt{2^2 - (\sqrt{2+\sqrt{3}})^2} = \sqrt{4 - (2+\sqrt{3})} = \sqrt{4 - 2 - \sqrt{3}} = \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

Теперь выражение $L$ упростилось до:
$L = \sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}}$

Шаг 3:
Вычислим оставшееся произведение. Оно имеет вид $\sqrt{2+C} \cdot \sqrt{2-C}$, где $C = \sqrt{3}$.
$\sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}$
Применяя формулу разности квадратов, получаем:
$\sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 - 3} = \sqrt{1} = 1$

Таким образом, мы показали, что левая часть равенства равна 1, что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.