Номер 912, страница 225 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 912, страница 225.
№912 (с. 225)
Условие. №912 (с. 225)
скриншот условия

912. Докажите, что:
$\sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}} = 1.$
Решение 1. №912 (с. 225)

Решение 2. №912 (с. 225)

Решение 3. №912 (с. 225)

Решение 4. №912 (с. 225)

Решение 5. №912 (с. 225)

Решение 6. №912 (с. 225)

Решение 7. №912 (с. 225)

Решение 8. №912 (с. 225)
Для доказательства данного равенства будем последовательно упрощать левую часть, используя формулу разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ и свойство произведения корней $\sqrt{x} \cdot \sqrt{y} = \sqrt{xy}$.
Обозначим все выражение в левой части через $L$:
$L = \sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}}$
Шаг 1:
Рассмотрим произведение последних двух множителей. Они имеют вид $\sqrt{2+A} \cdot \sqrt{2-A}$, где $A = \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}$.
$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}} \cdot \sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}}} = \sqrt{(2+\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}})(2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}})}$
Применяя формулу разности квадратов под корнем, получаем:
$\sqrt{2^2 - (\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}})^2} = \sqrt{4 - (2+\sqrt{2+\sqrt{3}})} = \sqrt{4 - 2 - \sqrt{2+\sqrt{3}}} = \sqrt{2 - \sqrt{2+\sqrt{3}}}$
Теперь выражение $L$ принимает вид:
$L = \sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2+\sqrt{3}}}$
Шаг 2:
Снова рассмотрим произведение последних двух множителей. Они имеют вид $\sqrt{2+B} \cdot \sqrt{2-B}$, где $B = \sqrt{2+\sqrt{3}}$.
$\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{3}}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{2+\sqrt{3}}} = \sqrt{(2+\sqrt{2+\sqrt{3}})(2-\sqrt{2+\sqrt{3}})}$
Применяя формулу разности квадратов под корнем, получаем:
$\sqrt{2^2 - (\sqrt{2+\sqrt{3}})^2} = \sqrt{4 - (2+\sqrt{3})} = \sqrt{4 - 2 - \sqrt{3}} = \sqrt{2 - \sqrt{3}}$
Теперь выражение $L$ упростилось до:
$L = \sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}}$
Шаг 3:
Вычислим оставшееся произведение. Оно имеет вид $\sqrt{2+C} \cdot \sqrt{2-C}$, где $C = \sqrt{3}$.
$\sqrt{2+\sqrt{3}} \cdot \sqrt{2 - \sqrt{3}} = \sqrt{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}$
Применяя формулу разности квадратов, получаем:
$\sqrt{2^2 - (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4 - 3} = \sqrt{1} = 1$
Таким образом, мы показали, что левая часть равенства равна 1, что и требовалось доказать.
Ответ: Равенство доказано.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 912 расположенного на странице 225 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №912 (с. 225), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.