Номер 917, страница 225 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 917, страница 225.

Условие.

917. Дана функция $f(x) = \begin{cases} -\frac{2}{x}, \text{ если } x < 0, \\ 3, \text{ если } 0 \le x \le 4, \\ \sqrt{x}, \text{ если } x > 4. \end{cases}$

1) Найдите $f(-0,5), f(0), f(4), f(9)$. 2) Постройте график данной функции.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы найти значения функции в заданных точках, необходимо определить, какому из трех интервалов принадлежит аргумент $x$, и использовать соответствующую этому интервалу формулу.

• Для нахождения $f(-0,5)$ заметим, что аргумент $x = -0,5$ удовлетворяет условию $x < 0$. Следовательно, используем первую формулу $f(x) = -\frac{2}{x}$:
  $f(-0,5) = -\frac{2}{-0,5} = 4$.

• Для нахождения $f(0)$ заметим, что аргумент $x = 0$ удовлетворяет условию $0 \le x \le 4$. Следовательно, используем вторую формулу $f(x) = 3$:
  $f(0) = 3$.

• Для нахождения $f(4)$ заметим, что аргумент $x = 4$ удовлетворяет условию $0 \le x \le 4$. Следовательно, используем вторую формулу $f(x) = 3$:
  $f(4) = 3$.

• Для нахождения $f(9)$ заметим, что аргумент $x = 9$ удовлетворяет условию $x > 4$. Следовательно, используем третью формулу $f(x) = \sqrt{x}$:
  $f(9) = \sqrt{9} = 3$.

Ответ: $f(-0,5) = 4$; $f(0) = 3$; $f(4) = 3$; $f(9) = 3$.

2) График данной кусочно-заданной функции состоит из трех частей. Построим каждую из них на своей области определения.

1. При $x < 0$ функция имеет вид $f(x) = -\frac{2}{x}$. Это график обратной пропорциональности (гипербола), ветви которой расположены во II и IV координатных четвертях. Поскольку $x < 0$, мы строим только ту ветвь, что находится во II четверти. Для построения найдем координаты нескольких точек:

   • если $x = -4$, то $y = -2/(-4) = 0,5$;

   • если $x = -2$, то $y = -2/(-2) = 1$;

   • если $x = -1$, то $y = -2/(-1) = 2$;

   • если $x = -0,5$, то $y = -2/(-0,5) = 4$.

   График асимптотически приближается к осям координат.

2. При $0 \le x \le 4$ функция имеет вид $f(x) = 3$. Это график постоянной функции, который представляет собой горизонтальный отрезок прямой $y=3$. Концевые точки отрезка — $(0, 3)$ и $(4, 3)$. Так как неравенства нестрогие, обе точки принадлежат графику и на чертеже обозначаются закрашенными кружками.

3. При $x > 4$ функция имеет вид $f(x) = \sqrt{x}$. Это часть графика функции квадратного корня. Область определения этого участка $x > 4$. Найдем начальную точку: при $x=4$, $y = \sqrt{4} = 2$. Так как неравенство строгое ($x > 4$), точка $(4, 2)$ не принадлежит графику и обозначается на чертеже выколотым (пустым) кружком. Для дальнейшего построения найдем еще одну точку:

   • если $x = 9$, то $y = \sqrt{9} = 3$.

   График представляет собой кривую, выходящую из точки $(4, 2)$ и плавно возрастающую при движении вправо.

Объединяя все три части на одной координатной плоскости, получаем искомый график функции. Важно отметить, что в точке $x=4$ функция имеет разрыв.

Ответ: График функции состоит из трех частей: 1) ветвь гиперболы $y = -2/x$ во второй координатной четверти ($x < 0$); 2) горизонтальный отрезок прямой $y=3$ с закрашенными концами в точках $(0, 3)$ и $(4, 3)$; 3) часть графика $y = \sqrt{x}$ при $x>4$, начинающаяся из выколотой точки $(4, 2)$.