Номер 924, страница 226 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 924, страница 226.
№924 (с. 226)
Условие. №924 (с. 226)
скриншот условия

924. Не вычисляя дискриминант, найдите, при каком значении $a$ уравнение:
1) $x^2 + 22x + a = 0;$
2) $x^2 - ax + 81 = 0$
имеет единственный корень. Найдите этот корень.
Решение 1. №924 (с. 226)


Решение 2. №924 (с. 226)

Решение 3. №924 (с. 226)

Решение 4. №924 (с. 226)

Решение 5. №924 (с. 226)

Решение 7. №924 (с. 226)

Решение 8. №924 (с. 226)
Квадратное уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда его левая часть является полным квадратом. Для решения задачи воспользуемся формулами сокращенного умножения для квадрата суммы и квадрата разности:
$ (x+k)^2 = x^2 + 2kx + k^2 $
$ (x-k)^2 = x^2 - 2kx + k^2 $
Единственный корень в первом случае будет $x = -k$, а во втором $x = k$.
1)Рассмотрим уравнение $x^2 + 22x + a = 0$. Чтобы оно имело один корень, его левая часть должна быть полным квадратом. Сравним это выражение с формулой $(x+k)^2 = x^2 + 2kx + k^2$.
Приравнивая коэффициенты при $x$, получаем: $2kx = 22x$, откуда $2k = 22$, и, следовательно, $k = 11$.
Теперь приравниваем свободные члены: $a = k^2$. Подставляя найденное значение $k$, находим $a$:
$a = 11^2 = 121$.
При $a=121$ уравнение принимает вид $x^2 + 22x + 121 = 0$, что можно записать как $(x+11)^2 = 0$.
Отсюда находим единственный корень: $x + 11 = 0$, то есть $x = -11$.
Ответ: при $a = 121$, единственный корень $x = -11$.
2)Рассмотрим уравнение $x^2 - ax + 81 = 0$. Снова сравним его с формулами полного квадрата. Свободный член в уравнении равен $81$.
Из сравнения со свободным членом в формулах полного квадрата ($k^2$) получаем: $k^2 = 81$. Это дает два возможных значения для $k$: $k = 9$ или $k = -9$. Однако, так как $(x-k)^2 = (x+(-k))^2$, мы можем рассмотреть $k=9$ и две формы полного квадрата.
Случай 1: Левая часть является квадратом разности.
Сравниваем $x^2 - ax + 81$ с $(x-k)^2 = x^2 - 2kx + k^2$.
У нас $k^2 = 81$, возьмем $k=9$. Тогда коэффициент при $x$ будет $-2k = -2 \cdot 9 = -18$.
Приравниваем коэффициенты при $x$ из нашего уравнения и формулы: $-a = -18$, откуда $a = 18$.
В этом случае уравнение становится $x^2 - 18x + 81 = 0$, или $(x-9)^2 = 0$.
Единственный корень: $x-9=0$, то есть $x = 9$.
Случай 2: Левая часть является квадратом суммы.
Сравниваем $x^2 - ax + 81$ с $(x+k)^2 = x^2 + 2kx + k^2$.
У нас $k^2 = 81$, возьмем $k=9$. Тогда коэффициент при $x$ будет $2k = 2 \cdot 9 = 18$.
Приравниваем коэффициенты при $x$: $-a = 18$, откуда $a = -18$.
В этом случае уравнение становится $x^2 - (-18)x + 81 = 0$, или $x^2 + 18x + 81 = 0$, что равносильно $(x+9)^2 = 0$.
Единственный корень: $x+9=0$, то есть $x = -9$.
Таким образом, существуют два значения параметра $a$, при которых уравнение имеет единственный корень.
Ответ: при $a = 18$, единственный корень $x = 9$; при $a = -18$, единственный корень $x = -9$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 924 расположенного на странице 226 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №924 (с. 226), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.