Номер 924, страница 226 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 924, страница 226.

Условие.

924. Не вычисляя дискриминант, найдите, при каком значении $a$ уравнение:

1) $x^2 + 22x + a = 0;$

2) $x^2 - ax + 81 = 0$

имеет единственный корень. Найдите этот корень.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Квадратное уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда его левая часть является полным квадратом. Для решения задачи воспользуемся формулами сокращенного умножения для квадрата суммы и квадрата разности:

$ (x+k)^2 = x^2 + 2kx + k^2 $

$ (x-k)^2 = x^2 - 2kx + k^2 $

Единственный корень в первом случае будет $x = -k$, а во втором $x = k$.

1)

Рассмотрим уравнение $x^2 + 22x + a = 0$. Чтобы оно имело один корень, его левая часть должна быть полным квадратом. Сравним это выражение с формулой $(x+k)^2 = x^2 + 2kx + k^2$.

Приравнивая коэффициенты при $x$, получаем: $2kx = 22x$, откуда $2k = 22$, и, следовательно, $k = 11$.

Теперь приравниваем свободные члены: $a = k^2$. Подставляя найденное значение $k$, находим $a$:

$a = 11^2 = 121$.

При $a=121$ уравнение принимает вид $x^2 + 22x + 121 = 0$, что можно записать как $(x+11)^2 = 0$.

Отсюда находим единственный корень: $x + 11 = 0$, то есть $x = -11$.

Ответ: при $a = 121$, единственный корень $x = -11$.

2)

Рассмотрим уравнение $x^2 - ax + 81 = 0$. Снова сравним его с формулами полного квадрата. Свободный член в уравнении равен $81$.

Из сравнения со свободным членом в формулах полного квадрата ($k^2$) получаем: $k^2 = 81$. Это дает два возможных значения для $k$: $k = 9$ или $k = -9$. Однако, так как $(x-k)^2 = (x+(-k))^2$, мы можем рассмотреть $k=9$ и две формы полного квадрата.

Случай 1: Левая часть является квадратом разности.
Сравниваем $x^2 - ax + 81$ с $(x-k)^2 = x^2 - 2kx + k^2$.
У нас $k^2 = 81$, возьмем $k=9$. Тогда коэффициент при $x$ будет $-2k = -2 \cdot 9 = -18$.
Приравниваем коэффициенты при $x$ из нашего уравнения и формулы: $-a = -18$, откуда $a = 18$.
В этом случае уравнение становится $x^2 - 18x + 81 = 0$, или $(x-9)^2 = 0$.
Единственный корень: $x-9=0$, то есть $x = 9$.

Случай 2: Левая часть является квадратом суммы.
Сравниваем $x^2 - ax + 81$ с $(x+k)^2 = x^2 + 2kx + k^2$.
У нас $k^2 = 81$, возьмем $k=9$. Тогда коэффициент при $x$ будет $2k = 2 \cdot 9 = 18$.
Приравниваем коэффициенты при $x$: $-a = 18$, откуда $a = -18$.
В этом случае уравнение становится $x^2 - (-18)x + 81 = 0$, или $x^2 + 18x + 81 = 0$, что равносильно $(x+9)^2 = 0$.
Единственный корень: $x+9=0$, то есть $x = -9$.

Таким образом, существуют два значения параметра $a$, при которых уравнение имеет единственный корень.

Ответ: при $a = 18$, единственный корень $x = 9$; при $a = -18$, единственный корень $x = -9$.