Номер 929, страница 227 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 929, страница 227.

Условие.

929. Составьте квадратное уравнение, корни которого на 1 меньше соответствующих корней уравнения $x^2 - 3x - 5 = 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения этой задачи можно использовать два способа.

Способ 1: Использование теоремы Виета

Пусть $x_1$ и $x_2$ — корни исходного квадратного уравнения $x^2 - 3x - 5 = 0$. Согласно теореме Виета, для этого уравнения справедливы следующие соотношения:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-3) = 3$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -5$

Пусть $y_1$ и $y_2$ — корни нового квадратного уравнения. По условию задачи, они на 1 меньше соответствующих корней исходного уравнения:

$y_1 = x_1 - 1$
$y_2 = x_2 - 1$

Теперь найдем сумму и произведение новых корней, чтобы составить искомое уравнение.

Сумма новых корней:
$y_1 + y_2 = (x_1 - 1) + (x_2 - 1) = (x_1 + x_2) - 2$
Подставляем известное значение $x_1 + x_2 = 3$:
$y_1 + y_2 = 3 - 2 = 1$

Произведение новых корней:
$y_1 \cdot y_2 = (x_1 - 1)(x_2 - 1) = x_1 x_2 - x_1 - x_2 + 1 = x_1 x_2 - (x_1 + x_2) + 1$
Подставляем известные значения $x_1 x_2 = -5$ и $x_1 + x_2 = 3$:
$y_1 \cdot y_2 = -5 - 3 + 1 = -7$

По теореме, обратной теореме Виета, если $y_1$ и $y_2$ — корни квадратного уравнения, то оно имеет вид $y^2 - (y_1 + y_2)y + y_1 y_2 = 0$. Подставив найденные значения суммы и произведения новых корней, получим:

$y^2 - (1)y + (-7) = 0$
$y^2 - y - 7 = 0$

Заменив переменную $y$ на привычную $x$, получаем искомое уравнение.

Ответ: $x^2 - x - 7 = 0$

---

Способ 2: Метод замены переменной

Пусть $y$ — корень нового, искомого уравнения. По условию, он на 1 меньше корня $x$ исходного уравнения. То есть, $y = x - 1$. Отсюда можно выразить корень исходного уравнения через корень нового: $x = y + 1$.

Так как $x$ является корнем уравнения $x^2 - 3x - 5 = 0$, мы можем подставить в него выражение $y + 1$ вместо $x$:

$(y + 1)^2 - 3(y + 1) - 5 = 0$

Теперь раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$(y^2 + 2y + 1) - (3y + 3) - 5 = 0$
$y^2 + 2y + 1 - 3y - 3 - 5 = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$y^2 + (2y - 3y) + (1 - 3 - 5) = 0$
$y^2 - y - 7 = 0$

Это и есть искомое квадратное уравнение. Заменив переменную $y$ на $x$, получаем окончательный вид.

Ответ: $x^2 - x - 7 = 0$