Номер 926, страница 226 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 926, страница 226.

Условие.

926. Число $-\frac{1}{3}$ является корнем уравнения $12x^2 - bx + 5 = 0$. Найдите значение $b$ и второй корень уравнения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Задача состоит из двух частей: найти значение коэффициента $b$ и найти второй корень уравнения.

1. Нахождение значения b

По условию, число $x = -\frac{1}{3}$ является корнем уравнения $12x^2 - bx + 5 = 0$. Это значит, что при подстановке этого значения в уравнение мы получим верное числовое равенство. Выполним подстановку:

$12 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^2 - b \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) + 5 = 0$

Теперь решим полученное уравнение относительно $b$. Сначала возведем в квадрат $-\frac{1}{3}$:

$12 \cdot \frac{1}{9} + \frac{b}{3} + 5 = 0$

Умножим 12 на $\frac{1}{9}$ и сократим полученную дробь:

$\frac{12}{9} + \frac{b}{3} + 5 = 0$

$\frac{4}{3} + \frac{b}{3} + 5 = 0$

Сложим дроби с одинаковым знаменателем:

$\frac{4+b}{3} + 5 = 0$

Перенесем 5 в правую часть уравнения, изменив знак:

$\frac{4+b}{3} = -5$

Умножим обе части уравнения на 3:

$4 + b = -15$

$b = -15 - 4$

$b = -19$

Ответ: $b = -19$.

2. Нахождение второго корня уравнения

Теперь, зная $b = -19$, мы можем записать исходное уравнение полностью:

$12x^2 - (-19)x + 5 = 0$

$12x^2 + 19x + 5 = 0$

Для нахождения второго корня ($x_2$) удобно воспользоваться теоремой Виета. Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения, произведение корней $x_1$ и $x_2$ равно свободному члену, деленному на старший коэффициент:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

В нашем уравнении $a = 12$, $c = 5$, и один из корней $x_1 = -\frac{1}{3}$. Подставим эти значения в формулу:

$-\frac{1}{3} \cdot x_2 = \frac{5}{12}$

Выразим $x_2$:

$x_2 = \frac{5}{12} \div \left(-\frac{1}{3}\right)$

$x_2 = \frac{5}{12} \cdot (-3)$

$x_2 = -\frac{5 \cdot 3}{12} = -\frac{15}{12}$

Сократим дробь на 3:

$x_2 = -\frac{5}{4}$

Ответ: второй корень уравнения равен $-\frac{5}{4}$ (или -1,25).