Номер 928, страница 226 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 928, страница 226.

Условие.

928. Корни $x_1$ и $x_2$ уравнения $x^2 - bx + 20 = 0$ удовлетворяют условию $x_1 = 5x_2$. Найдите значение $b$ и корни уравнения.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения данного квадратного уравнения $x^2 - bx + 20 = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$, которые удовлетворяют условию $x_1 = 5x_2$, воспользуемся теоремой Виета.

Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-b) = b$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 20$

Вместе с данным в условии соотношением $x_1 = 5x_2$ мы получаем систему из трех уравнений:
$ \begin{cases} x_1 + x_2 = b \\ x_1 \cdot x_2 = 20 \\ x_1 = 5x_2 \end{cases} $

Нахождение корней уравнения
Чтобы найти корни, подставим выражение для $x_1$ из третьего уравнения системы во второе:
$(5x_2) \cdot x_2 = 20$
$5x_2^2 = 20$
Разделим обе части на 5:
$x_2^2 = 4$
Отсюда получаем два возможных значения для $x_2$: $x_2 = 2$ и $x_2 = -2$.
Теперь найдем соответствующее значение $x_1$ для каждого случая:
1. Если $x_2 = 2$, то $x_1 = 5 \cdot 2 = 10$.
2. Если $x_2 = -2$, то $x_1 = 5 \cdot (-2) = -10$.
Таким образом, существуют два возможных набора корней: (10, 2) и (-10, -2).

Нахождение значения b
Найдем соответствующее значение коэффициента $b$ для каждого набора корней, используя первое уравнение системы $b = x_1 + x_2$:
1. Для корней 10 и 2: $b = 10 + 2 = 12$.
2. Для корней -10 и -2: $b = -10 + (-2) = -12$.

Ответ: Задача имеет два решения:
1. При $b = 12$ корни уравнения равны $10$ и $2$.
2. При $b = -12$ корни уравнения равны $-10$ и $-2$.