Номер 921, страница 226 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 921, страница 226.

Условие.

921. Решите уравнение:

1) $|x^2 - 2x - 6| = 6;$

2) $x^2 - 6|x| - 16 = 0;$

3) $x|x| + 2x - 15 = 0;$

4) $||x^2 - 6x - 4|-3|=1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Уравнение вида $|A| = c$ (где $c \ge 0$) равносильно совокупности двух уравнений: $A = c$ и $A = -c$.
Применим это правило к уравнению $|x^2 - 2x - 6| = 6$.
Получаем два случая:

а) $x^2 - 2x - 6 = 6$
$x^2 - 2x - 12 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 4 + 48 = 52$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{52}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{13}}{2} = 1 \pm \sqrt{13}$.

б) $x^2 - 2x - 6 = -6$
$x^2 - 2x = 0$
$x(x - 2) = 0$
Отсюда получаем еще два корня: $x_3 = 0$, $x_4 = 2$.

Объединяя все найденные корни, получаем решение исходного уравнения.
Ответ: $1 - \sqrt{13}; 0; 2; 1 + \sqrt{13}$.

2) В уравнении $x^2 - 6|x| - 16 = 0$ учтем, что $x^2 = |x|^2$.
Тогда уравнение можно переписать в виде: $|x|^2 - 6|x| - 16 = 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = |x|$, при этом $t \ge 0$.
Получим квадратное уравнение относительно $t$:
$t^2 - 6t - 16 = 0$
По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1 = 8$ и $t_2 = -2$.
Проверяем условие $t \ge 0$. Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет этому условию, поэтому мы его отбрасываем.
Остается один вариант: $t = 8$.
Возвращаемся к исходной переменной: $|x| = 8$.
Это уравнение имеет два решения: $x = 8$ и $x = -8$.
Ответ: $-8; 8$.

3) Для решения уравнения $x|x| + 2x - 15 = 0$ необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x \ge 0$.
В этом случае $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$x \cdot x + 2x - 15 = 0$
$x^2 + 2x - 15 = 0$
По теореме Виета, корни этого уравнения $x_1 = 3$ и $x_2 = -5$.
Проверяем условие $x \ge 0$. Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию, а $x_2 = -5$ — нет.
Следовательно, из этого случая получаем одно решение: $x = 3$.

Случай 2: $x < 0$.
В этом случае $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$x \cdot (-x) + 2x - 15 = 0$
$-x^2 + 2x - 15 = 0$
$x^2 - 2x + 15 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 4 - 60 = -56$.
Так как $D < 0$, действительных корней в этом случае нет.

Объединяя результаты двух случаев, получаем единственный корень.
Ответ: $3$.

4) Решим уравнение с вложенными модулями $||x^2 - 6x - 4| - 3| = 1$.
Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
а) $|x^2 - 6x - 4| - 3 = 1$
б) $|x^2 - 6x - 4| - 3 = -1$

Рассмотрим каждое из них.
а) $|x^2 - 6x - 4| = 4$.
Это уравнение, в свою очередь, распадается на два:
а.1) $x^2 - 6x - 4 = 4 \implies x^2 - 6x - 8 = 0$.
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 36 + 32 = 68$.
$x = \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} = 3 \pm \sqrt{17}$.

а.2) $x^2 - 6x - 4 = -4 \implies x^2 - 6x = 0 \implies x(x - 6) = 0$.
$x = 0$ или $x = 6$.

б) $|x^2 - 6x - 4| = 2$.
Это уравнение также распадается на два:
б.1) $x^2 - 6x - 4 = 2 \implies x^2 - 6x - 6 = 0$.
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 36 + 24 = 60$.
$x = \frac{6 \pm \sqrt{60}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{15}}{2} = 3 \pm \sqrt{15}$.

б.2) $x^2 - 6x - 4 = -2 \implies x^2 - 6x - 2 = 0$.
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 36 + 8 = 44$.
$x = \frac{6 \pm \sqrt{44}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{11}}{2} = 3 \pm \sqrt{11}$.

Всего уравнение имеет восемь корней.
Ответ: $0; 6; 3 \pm \sqrt{11}; 3 \pm \sqrt{15}; 3 \pm \sqrt{17}$.