Номер 920, страница 226 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 920, страница 226.
№920 (с. 226)
Условие. №920 (с. 226)
скриншот условия

920. Для каждого значения $a$ решите уравнение:
1) $x^2 + (5a - 1)x + 4a^2 - a = 0;$
2) $x^2 - (2a + 3)x + 6a = 0;$
3) $a^2x^2 - 10ax + 16 = 0.$
Решение 1. №920 (с. 226)



Решение 2. №920 (с. 226)

Решение 3. №920 (с. 226)

Решение 4. №920 (с. 226)

Решение 5. №920 (с. 226)

Решение 7. №920 (с. 226)

Решение 8. №920 (с. 226)
1) Это квадратное уравнение относительно переменной $x$: $x^2 + (5a - 1)x + 4a^2 - a = 0$. Для его решения найдем дискриминант $D$.
Коэффициенты уравнения: $A=1$, $B=5a-1$, $C=4a^2-a$.
$D = B^2 - 4AC = (5a - 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4a^2 - a)$
$D = (25a^2 - 10a + 1) - (16a^2 - 4a) = 25a^2 - 10a + 1 - 16a^2 + 4a = 9a^2 - 6a + 1$.
Заметим, что полученное выражение для дискриминанта является полным квадратом:
$D = 9a^2 - 6a + 1 = (3a - 1)^2$.
Поскольку $D = (3a - 1)^2 \ge 0$ при любом действительном значении $a$, уравнение всегда имеет действительные корни. Найдем их по формуле корней квадратного уравнения:
$x = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \frac{-(5a - 1) \pm \sqrt{(3a - 1)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5a \pm (3a - 1)}{2}$.
Вычислим каждый корень отдельно:
$x_1 = \frac{1 - 5a + (3a - 1)}{2} = \frac{1 - 5a + 3a - 1}{2} = \frac{-2a}{2} = -a$.
$x_2 = \frac{1 - 5a - (3a - 1)}{2} = \frac{1 - 5a - 3a + 1}{2} = \frac{2 - 8a}{2} = 1 - 4a$.
Ответ: при любом значении $a$ корни уравнения: $x_1 = -a$, $x_2 = 1 - 4a$.
2) Это квадратное уравнение относительно переменной $x$: $x^2 - (2a + 3)x + 6a = 0$. Найдем его дискриминант $D$.
Коэффициенты уравнения: $A=1$, $B=-(2a+3)$, $C=6a$.
$D = B^2 - 4AC = (-(2a + 3))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (6a)$
$D = (2a + 3)^2 - 24a = (4a^2 + 12a + 9) - 24a = 4a^2 - 12a + 9$.
Это выражение также является полным квадратом:
$D = 4a^2 - 12a + 9 = (2a - 3)^2$.
Поскольку $D = (2a - 3)^2 \ge 0$ при любом действительном значении $a$, уравнение всегда имеет действительные корни. Найдем их по формуле:
$x = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \frac{-(-(2a+3)) \pm \sqrt{(2a - 3)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{2a + 3 \pm (2a - 3)}{2}$.
Вычислим каждый корень отдельно:
$x_1 = \frac{2a + 3 + (2a - 3)}{2} = \frac{4a}{2} = 2a$.
$x_2 = \frac{2a + 3 - (2a - 3)}{2} = \frac{2a + 3 - 2a + 3}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
Ответ: при любом значении $a$ корни уравнения: $x_1 = 2a$, $x_2 = 3$.
3) Рассматриваем уравнение $a^2x^2 - 10ax + 16 = 0$.
Вид уравнения зависит от параметра $a$. Необходимо рассмотреть два случая.
Случай 1: $a=0$.
Если $a=0$, уравнение принимает вид:
$0^2 \cdot x^2 - 10 \cdot 0 \cdot x + 16 = 0$
$16 = 0$
Это неверное равенство, следовательно, при $a=0$ уравнение не имеет корней.
Случай 2: $a \neq 0$.
При $a \neq 0$ уравнение является квадратным относительно $x$. Для удобства решения введем новую переменную $y = ax$. Тогда уравнение можно переписать в виде:
$(ax)^2 - 10(ax) + 16 = 0$
$y^2 - 10y + 16 = 0$
Это приведенное квадратное уравнение относительно $y$. Его корни можно найти по теореме Виета. Сумма корней равна 10, а произведение равно 16. Легко подобрать корни:
$y_1 = 2$, $y_2 = 8$.
Теперь вернемся к исходной переменной $x$, используя замену $y=ax$:
$ax = 2 \implies x_1 = \frac{2}{a}$
$ax = 8 \implies x_2 = \frac{8}{a}$
Так как в этом случае $a \neq 0$, деление на $a$ является корректной операцией.
Ответ: если $a = 0$, то корней нет; если $a \neq 0$, то корни уравнения: $x_1 = \frac{2}{a}$, $x_2 = \frac{8}{a}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 920 расположенного на странице 226 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №920 (с. 226), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.