Номер 920, страница 226 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 920, страница 226.

Условие.

920. Для каждого значения $a$ решите уравнение:

1) $x^2 + (5a - 1)x + 4a^2 - a = 0;$

2) $x^2 - (2a + 3)x + 6a = 0;$

3) $a^2x^2 - 10ax + 16 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Это квадратное уравнение относительно переменной $x$: $x^2 + (5a - 1)x + 4a^2 - a = 0$. Для его решения найдем дискриминант $D$.

Коэффициенты уравнения: $A=1$, $B=5a-1$, $C=4a^2-a$.

$D = B^2 - 4AC = (5a - 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4a^2 - a)$

$D = (25a^2 - 10a + 1) - (16a^2 - 4a) = 25a^2 - 10a + 1 - 16a^2 + 4a = 9a^2 - 6a + 1$.

Заметим, что полученное выражение для дискриминанта является полным квадратом:

$D = 9a^2 - 6a + 1 = (3a - 1)^2$.

Поскольку $D = (3a - 1)^2 \ge 0$ при любом действительном значении $a$, уравнение всегда имеет действительные корни. Найдем их по формуле корней квадратного уравнения:

$x = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \frac{-(5a - 1) \pm \sqrt{(3a - 1)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5a \pm (3a - 1)}{2}$.

Вычислим каждый корень отдельно:

$x_1 = \frac{1 - 5a + (3a - 1)}{2} = \frac{1 - 5a + 3a - 1}{2} = \frac{-2a}{2} = -a$.

$x_2 = \frac{1 - 5a - (3a - 1)}{2} = \frac{1 - 5a - 3a + 1}{2} = \frac{2 - 8a}{2} = 1 - 4a$.

Ответ: при любом значении $a$ корни уравнения: $x_1 = -a$, $x_2 = 1 - 4a$.

2) Это квадратное уравнение относительно переменной $x$: $x^2 - (2a + 3)x + 6a = 0$. Найдем его дискриминант $D$.

Коэффициенты уравнения: $A=1$, $B=-(2a+3)$, $C=6a$.

$D = B^2 - 4AC = (-(2a + 3))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (6a)$

$D = (2a + 3)^2 - 24a = (4a^2 + 12a + 9) - 24a = 4a^2 - 12a + 9$.

Это выражение также является полным квадратом:

$D = 4a^2 - 12a + 9 = (2a - 3)^2$.

Поскольку $D = (2a - 3)^2 \ge 0$ при любом действительном значении $a$, уравнение всегда имеет действительные корни. Найдем их по формуле:

$x = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \frac{-(-(2a+3)) \pm \sqrt{(2a - 3)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{2a + 3 \pm (2a - 3)}{2}$.

Вычислим каждый корень отдельно:

$x_1 = \frac{2a + 3 + (2a - 3)}{2} = \frac{4a}{2} = 2a$.

$x_2 = \frac{2a + 3 - (2a - 3)}{2} = \frac{2a + 3 - 2a + 3}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

Ответ: при любом значении $a$ корни уравнения: $x_1 = 2a$, $x_2 = 3$.

3) Рассматриваем уравнение $a^2x^2 - 10ax + 16 = 0$.

Вид уравнения зависит от параметра $a$. Необходимо рассмотреть два случая.

Случай 1: $a=0$.

Если $a=0$, уравнение принимает вид:

$0^2 \cdot x^2 - 10 \cdot 0 \cdot x + 16 = 0$

$16 = 0$

Это неверное равенство, следовательно, при $a=0$ уравнение не имеет корней.

Случай 2: $a \neq 0$.

При $a \neq 0$ уравнение является квадратным относительно $x$. Для удобства решения введем новую переменную $y = ax$. Тогда уравнение можно переписать в виде:

$(ax)^2 - 10(ax) + 16 = 0$

$y^2 - 10y + 16 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение относительно $y$. Его корни можно найти по теореме Виета. Сумма корней равна 10, а произведение равно 16. Легко подобрать корни:

$y_1 = 2$, $y_2 = 8$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, используя замену $y=ax$:

$ax = 2 \implies x_1 = \frac{2}{a}$

$ax = 8 \implies x_2 = \frac{8}{a}$

Так как в этом случае $a \neq 0$, деление на $a$ является корректной операцией.

Ответ: если $a = 0$, то корней нет; если $a \neq 0$, то корни уравнения: $x_1 = \frac{2}{a}$, $x_2 = \frac{8}{a}$.