Номер 923, страница 226 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 923, страница 226.

Условие.

923. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x^2 + 3x - 4} + \sqrt{x^2 + 6x + 8} = 0;$

2) $x^2 - 4x + 4 + |x^2 - 3x + 2| = 0;$

3) $\sqrt{25 - x^2} + |x^2 + 8x - 20| = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Данное уравнение $\sqrt{x^2 + 3x - 4} + \sqrt{x^2 + 6x + 8} = 0$ представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых, так как значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно системе уравнений:
$\begin{cases} \sqrt{x^2 + 3x - 4} = 0 \\ \sqrt{x^2 + 6x + 8} = 0 \end{cases}$
Возведя обе части каждого уравнения в квадрат, получим систему квадратных уравнений:
$\begin{cases} x^2 + 3x - 4 = 0 \\ x^2 + 6x + 8 = 0 \end{cases}$
Решим первое уравнение $x^2 + 3x - 4 = 0$. По теореме Виета, его корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -4$.
Решим второе уравнение $x^2 + 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, его корни $x_1 = -2$ и $x_2 = -4$.
Решением системы является общее решение для обоих уравнений. Общим корнем является $x = -4$.
Ответ: $x = -4$

2) Рассмотрим уравнение $x^2 - 4x + 4 + |x^2 - 3x + 2| = 0$. Заметим, что первое слагаемое является полным квадратом: $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$. Так как квадрат любого числа и модуль любого числа являются неотрицательными величинами, то их сумма равна нулю только в том случае, если оба слагаемых одновременно равны нулю. Таким образом, уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} (x-2)^2 = 0 \\ |x^2 - 3x + 2| = 0 \end{cases}$
Что, в свою очередь, равносильно системе:
$\begin{cases} x - 2 = 0 \\ x^2 - 3x + 2 = 0 \end{cases}$
Из первого уравнения находим, что $x = 2$.
Подставим это значение во второе уравнение, чтобы проверить, является ли оно его корнем:
$2^2 - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$.
Равенство $0=0$ является верным. Значит, $x=2$ является решением системы и, следовательно, исходного уравнения.
Ответ: $x = 2$

3) Уравнение $\sqrt{25 - x^2} + |x^2 + 8x - 20| = 0$ состоит из суммы двух неотрицательных слагаемых: квадратного корня и модуля. Сумма этих слагаемых равна нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю. Это приводит нас к системе уравнений:
$\begin{cases} \sqrt{25 - x^2} = 0 \\ |x^2 + 8x - 20| = 0 \end{cases}$
Упростим систему:
$\begin{cases} 25 - x^2 = 0 \\ x^2 + 8x - 20 = 0 \end{cases}$
Решим первое уравнение: $25 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 25 \Rightarrow x_1 = 5, x_2 = -5$.
Решим второе уравнение: $x^2 + 8x - 20 = 0$. Найдем дискриминант: $D = 8^2 - 4(1)(-20) = 64 + 80 = 144 = 12^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-8 - 12}{2} = -10$ и $x_2 = \frac{-8 + 12}{2} = 2$.
Решением системы являются общие корни двух уравнений. Сравнивая множества корней первого уравнения $\{5, -5\}$ и второго уравнения $\{-10, 2\}$, мы видим, что у них нет общих элементов. Следовательно, система не имеет решений.
Ответ: нет корней