Страница 226 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

918. Решите уравнение:

1) $x^2 - 4x - 32 = 0;$

2) $x^2 - 10x + 21 = 0;$

3) $6x^2 - 5x + 1 = 0;$

4) $8x^2 + 2x - 3 = 0;$

5) $x^2 + 6x - 15 = 0;$

6) $3x^2 - x - 5 = 0;$

7) $4x^2 + 28x + 49 = 0;$

8) $x^2 - 16x + 71 = 0.$

1) Решим уравнение $x^2 - 4x - 32 = 0$.
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами: $a = 1$, $b = -4$, $c = -32$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{144} = 12$.
Корни находим по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-4) + 12}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 12}{2} = \frac{16}{2} = 8$.
$x_2 = \frac{-(-4) - 12}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 12}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.
Ответ: -4; 8.

2) Решим уравнение $x^2 - 10x + 21 = 0$.
Коэффициенты: $a = 1$, $b = -10$, $c = 21$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 100 - 84 = 16$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{16} = 4$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-(-10) + 4}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 4}{2} = \frac{14}{2} = 7$.
$x_2 = \frac{-(-10) - 4}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
Ответ: 3; 7.

3) Решим уравнение $6x^2 - 5x + 1 = 0$.
Коэффициенты: $a = 6$, $b = -5$, $c = 1$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{1} = 1$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-(-5) + 1}{2 \cdot 6} = \frac{5 + 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
$x_2 = \frac{-(-5) - 1}{2 \cdot 6} = \frac{5 - 1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{2}$.

4) Решим уравнение $8x^2 + 2x - 3 = 0$.
Коэффициенты: $a = 8$, $b = 2$, $c = -3$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-3) = 4 + 96 = 100$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{100} = 10$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-2 + 10}{2 \cdot 8} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.
$x_2 = \frac{-2 - 10}{2 \cdot 8} = \frac{-12}{16} = -\frac{3}{4}$.
Ответ: $-\frac{3}{4}$; $\frac{1}{2}$.

5) Решим уравнение $x^2 + 6x - 15 = 0$.
Коэффициенты: $a = 1$, $b = 6$, $c = -15$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 36 + 60 = 96$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6}$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-6 + 4\sqrt{6}}{2 \cdot 1} = \frac{2(-3 + 2\sqrt{6})}{2} = -3 + 2\sqrt{6}$.
$x_2 = \frac{-6 - 4\sqrt{6}}{2 \cdot 1} = \frac{2(-3 - 2\sqrt{6})}{2} = -3 - 2\sqrt{6}$.
Ответ: $-3 - 2\sqrt{6}$; $-3 + 2\sqrt{6}$.

6) Решим уравнение $3x^2 - x - 5 = 0$.
Коэффициенты: $a = 3$, $b = -1$, $c = -5$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 1 + 60 = 61$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{61}$.
Найдем корни:
$x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{61}}{2 \cdot 3} = \frac{1 \pm \sqrt{61}}{6}$.
Ответ: $\frac{1 - \sqrt{61}}{6}$; $\frac{1 + \sqrt{61}}{6}$.

7) Решим уравнение $4x^2 + 28x + 49 = 0$.
Можно заметить, что левая часть является полным квадратом: $4x^2 = (2x)^2$, $49 = 7^2$, и $2 \cdot (2x) \cdot 7 = 28x$.
Следовательно, уравнение можно переписать как $(2x + 7)^2 = 0$.
$2x + 7 = 0$
$2x = -7$
$x = -\frac{7}{2} = -3.5$
Либо через дискриминант: $a = 4$, $b = 28$, $c = 49$.
$D = b^2 - 4ac = 28^2 - 4 \cdot 4 \cdot 49 = 784 - 16 \cdot 49 = 784 - 784 = 0$.
Так как $D = 0$, уравнение имеет один корень: $x = \frac{-b}{2a} = \frac{-28}{2 \cdot 4} = \frac{-28}{8} = -\frac{7}{2} = -3.5$.
Ответ: -3,5.

8) Решим уравнение $x^2 - 16x + 71 = 0$.
Коэффициенты: $a = 1$, $b = -16$, $c = 71$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 71 = 256 - 284 = -28$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет действительных корней.

919. Решите уравнение:

1) $(x - 4)(x + 2) - 2(3x + 1)(x - 3) = x(x + 27);$

2) $(4x - 3)^2 + (3x - 1)(3x + 1) = 9;$

3) $(x + 4)(x^2 + x - 13) - (x + 7)(x^2 + 2x - 5) = x + 1;$

4) $\frac{2(x^2 - 9)}{5} - \frac{x + 1}{2} = \frac{x - 41}{4};$

5) $\frac{x^2 + 5x}{3} - \frac{x + 3}{2} = \frac{2x^2 - 2}{8}.$

1) $(x - 4)(x + 2) - 2(3x + 1)(x - 3) = x(x + 27)$

Раскроем скобки в каждой части уравнения:

$(x^2 + 2x - 4x - 8) - 2(3x^2 - 9x + x - 3) = x^2 + 27x$

$(x^2 - 2x - 8) - 2(3x^2 - 8x - 3) = x^2 + 27x$

$x^2 - 2x - 8 - 6x^2 + 16x + 6 = x^2 + 27x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-5x^2 + 14x - 2 = x^2 + 27x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$-5x^2 - x^2 + 14x - 27x - 2 = 0$

$-6x^2 - 13x - 2 = 0$

Умножим обе части на -1:

$6x^2 + 13x + 2 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 13^2 - 4 \cdot 6 \cdot 2 = 169 - 48 = 121 = 11^2$

Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-13 - 11}{2 \cdot 6} = \frac{-24}{12} = -2$

$x_2 = \frac{-13 + 11}{2 \cdot 6} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$

Ответ: $x_1 = -2; x_2 = -\frac{1}{6}.$

2) $(4x - 3)^2 + (3x - 1)(3x + 1) = 9$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения (квадрат разности и разность квадратов):

$(16x^2 - 24x + 9) + (9x^2 - 1) = 9$

Приведем подобные слагаемые:

$25x^2 - 24x + 8 = 9$

Перенесем 9 в левую часть:

$25x^2 - 24x + 8 - 9 = 0$

$25x^2 - 24x - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = (-24)^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-1) = 576 + 100 = 676 = 26^2$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{24 - 26}{2 \cdot 25} = \frac{-2}{50} = -\frac{1}{25}$

$x_2 = \frac{24 + 26}{2 \cdot 25} = \frac{50}{50} = 1$

Ответ: $x_1 = 1; x_2 = -0.04.$

3) $(x + 4)(x^2 + x - 13) - (x + 7)(x^2 + 2x - 5) = x + 1$

Раскроем скобки, перемножая многочлены:

$(x^3 + x^2 - 13x + 4x^2 + 4x - 52) - (x^3 + 2x^2 - 5x + 7x^2 + 14x - 35) = x + 1$

Приведем подобные слагаемые внутри скобок:

$(x^3 + 5x^2 - 9x - 52) - (x^3 + 9x^2 + 9x - 35) = x + 1$

Раскроем вторые скобки, меняя знаки:

$x^3 + 5x^2 - 9x - 52 - x^3 - 9x^2 - 9x + 35 = x + 1$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-4x^2 - 18x - 17 = x + 1$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$-4x^2 - 18x - x - 17 - 1 = 0$

$-4x^2 - 19x - 18 = 0$

Умножим на -1:

$4x^2 + 19x + 18 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = 19^2 - 4 \cdot 4 \cdot 18 = 361 - 288 = 73$

Так как $D > 0$, но не является полным квадратом, корни будут иррациональными:

$x = \frac{-19 \pm \sqrt{73}}{8}$

Ответ: $x = \frac{-19 \pm \sqrt{73}}{8}.$

4) $\frac{2(x^2 - 9)}{5} - \frac{x + 1}{2} = \frac{x - 41}{4}$

Найдем наименьшее общее кратное знаменателей 5, 2 и 4. НОК(5, 2, 4) = 20.

Умножим обе части уравнения на 20, чтобы избавиться от дробей:

$20 \cdot \frac{2(x^2 - 9)}{5} - 20 \cdot \frac{x + 1}{2} = 20 \cdot \frac{x - 41}{4}$

$4 \cdot 2(x^2 - 9) - 10(x + 1) = 5(x - 41)$

Раскроем скобки:

$8(x^2 - 9) - 10(x + 1) = 5(x - 41)$

$8x^2 - 72 - 10x - 10 = 5x - 205$

Приведем подобные слагаемые:

$8x^2 - 10x - 82 = 5x - 205$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$8x^2 - 10x - 5x - 82 + 205 = 0$

$8x^2 - 15x + 123 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = (-15)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 123 = 225 - 3936 = -3711$

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

5) $\frac{x^2 + 5x}{3} - \frac{x + 3}{2} = \frac{2x^2 - 2}{8}$

Сначала упростим дробь в правой части: $\frac{2x^2 - 2}{8} = \frac{2(x^2 - 1)}{8} = \frac{x^2 - 1}{4}$.

Получим уравнение: $\frac{x^2 + 5x}{3} - \frac{x + 3}{2} = \frac{x^2 - 1}{4}$

Найдем наименьшее общее кратное знаменателей 3, 2 и 4. НОК(3, 2, 4) = 12.

Умножим обе части уравнения на 12:

$12 \cdot \frac{x^2 + 5x}{3} - 12 \cdot \frac{x + 3}{2} = 12 \cdot \frac{x^2 - 1}{4}$

$4(x^2 + 5x) - 6(x + 3) = 3(x^2 - 1)$

Раскроем скобки:

$4x^2 + 20x - 6x - 18 = 3x^2 - 3$

Приведем подобные слагаемые:

$4x^2 + 14x - 18 = 3x^2 - 3$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$4x^2 - 3x^2 + 14x - 18 + 3 = 0$

$x^2 + 14x - 15 = 0$

Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна -14, произведение равно -15. Это числа -15 и 1.

Или через дискриминант:

$D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256 = 16^2$

$x_1 = \frac{-14 - 16}{2} = \frac{-30}{2} = -15$

$x_2 = \frac{-14 + 16}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Ответ: $x_1 = -15; x_2 = 1.$

920. Для каждого значения $a$ решите уравнение:

1) $x^2 + (5a - 1)x + 4a^2 - a = 0;$

2) $x^2 - (2a + 3)x + 6a = 0;$

3) $a^2x^2 - 10ax + 16 = 0.$

1) Это квадратное уравнение относительно переменной $x$: $x^2 + (5a - 1)x + 4a^2 - a = 0$. Для его решения найдем дискриминант $D$.

Коэффициенты уравнения: $A=1$, $B=5a-1$, $C=4a^2-a$.

$D = B^2 - 4AC = (5a - 1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (4a^2 - a)$

$D = (25a^2 - 10a + 1) - (16a^2 - 4a) = 25a^2 - 10a + 1 - 16a^2 + 4a = 9a^2 - 6a + 1$.

Заметим, что полученное выражение для дискриминанта является полным квадратом:

$D = 9a^2 - 6a + 1 = (3a - 1)^2$.

Поскольку $D = (3a - 1)^2 \ge 0$ при любом действительном значении $a$, уравнение всегда имеет действительные корни. Найдем их по формуле корней квадратного уравнения:

$x = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \frac{-(5a - 1) \pm \sqrt{(3a - 1)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 5a \pm (3a - 1)}{2}$.

Вычислим каждый корень отдельно:

$x_1 = \frac{1 - 5a + (3a - 1)}{2} = \frac{1 - 5a + 3a - 1}{2} = \frac{-2a}{2} = -a$.

$x_2 = \frac{1 - 5a - (3a - 1)}{2} = \frac{1 - 5a - 3a + 1}{2} = \frac{2 - 8a}{2} = 1 - 4a$.

Ответ: при любом значении $a$ корни уравнения: $x_1 = -a$, $x_2 = 1 - 4a$.

2) Это квадратное уравнение относительно переменной $x$: $x^2 - (2a + 3)x + 6a = 0$. Найдем его дискриминант $D$.

Коэффициенты уравнения: $A=1$, $B=-(2a+3)$, $C=6a$.

$D = B^2 - 4AC = (-(2a + 3))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (6a)$

$D = (2a + 3)^2 - 24a = (4a^2 + 12a + 9) - 24a = 4a^2 - 12a + 9$.

Это выражение также является полным квадратом:

$D = 4a^2 - 12a + 9 = (2a - 3)^2$.

Поскольку $D = (2a - 3)^2 \ge 0$ при любом действительном значении $a$, уравнение всегда имеет действительные корни. Найдем их по формуле:

$x = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \frac{-(-(2a+3)) \pm \sqrt{(2a - 3)^2}}{2 \cdot 1} = \frac{2a + 3 \pm (2a - 3)}{2}$.

Вычислим каждый корень отдельно:

$x_1 = \frac{2a + 3 + (2a - 3)}{2} = \frac{4a}{2} = 2a$.

$x_2 = \frac{2a + 3 - (2a - 3)}{2} = \frac{2a + 3 - 2a + 3}{2} = \frac{6}{2} = 3$.

Ответ: при любом значении $a$ корни уравнения: $x_1 = 2a$, $x_2 = 3$.

3) Рассматриваем уравнение $a^2x^2 - 10ax + 16 = 0$.

Вид уравнения зависит от параметра $a$. Необходимо рассмотреть два случая.

Случай 1: $a=0$.

Если $a=0$, уравнение принимает вид:

$0^2 \cdot x^2 - 10 \cdot 0 \cdot x + 16 = 0$

$16 = 0$

Это неверное равенство, следовательно, при $a=0$ уравнение не имеет корней.

Случай 2: $a \neq 0$.

При $a \neq 0$ уравнение является квадратным относительно $x$. Для удобства решения введем новую переменную $y = ax$. Тогда уравнение можно переписать в виде:

$(ax)^2 - 10(ax) + 16 = 0$

$y^2 - 10y + 16 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение относительно $y$. Его корни можно найти по теореме Виета. Сумма корней равна 10, а произведение равно 16. Легко подобрать корни:

$y_1 = 2$, $y_2 = 8$.

Теперь вернемся к исходной переменной $x$, используя замену $y=ax$:

$ax = 2 \implies x_1 = \frac{2}{a}$

$ax = 8 \implies x_2 = \frac{8}{a}$

Так как в этом случае $a \neq 0$, деление на $a$ является корректной операцией.

Ответ: если $a = 0$, то корней нет; если $a \neq 0$, то корни уравнения: $x_1 = \frac{2}{a}$, $x_2 = \frac{8}{a}$.

921. Решите уравнение:

1) $|x^2 - 2x - 6| = 6;$

2) $x^2 - 6|x| - 16 = 0;$

3) $x|x| + 2x - 15 = 0;$

4) $||x^2 - 6x - 4|-3|=1.$

1) Уравнение вида $|A| = c$ (где $c \ge 0$) равносильно совокупности двух уравнений: $A = c$ и $A = -c$.
Применим это правило к уравнению $|x^2 - 2x - 6| = 6$.
Получаем два случая:

а) $x^2 - 2x - 6 = 6$
$x^2 - 2x - 12 = 0$
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 4 + 48 = 52$.
Корни уравнения: $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{52}}{2} = \frac{2 \pm 2\sqrt{13}}{2} = 1 \pm \sqrt{13}$.

б) $x^2 - 2x - 6 = -6$
$x^2 - 2x = 0$
$x(x - 2) = 0$
Отсюда получаем еще два корня: $x_3 = 0$, $x_4 = 2$.

Объединяя все найденные корни, получаем решение исходного уравнения.
Ответ: $1 - \sqrt{13}; 0; 2; 1 + \sqrt{13}$.

2) В уравнении $x^2 - 6|x| - 16 = 0$ учтем, что $x^2 = |x|^2$.
Тогда уравнение можно переписать в виде: $|x|^2 - 6|x| - 16 = 0$.
Сделаем замену переменной. Пусть $t = |x|$, при этом $t \ge 0$.
Получим квадратное уравнение относительно $t$:
$t^2 - 6t - 16 = 0$
По теореме Виета, корни этого уравнения $t_1 = 8$ и $t_2 = -2$.
Проверяем условие $t \ge 0$. Корень $t_2 = -2$ не удовлетворяет этому условию, поэтому мы его отбрасываем.
Остается один вариант: $t = 8$.
Возвращаемся к исходной переменной: $|x| = 8$.
Это уравнение имеет два решения: $x = 8$ и $x = -8$.
Ответ: $-8; 8$.

3) Для решения уравнения $x|x| + 2x - 15 = 0$ необходимо раскрыть модуль, рассмотрев два случая.

Случай 1: $x \ge 0$.
В этом случае $|x| = x$. Уравнение принимает вид:
$x \cdot x + 2x - 15 = 0$
$x^2 + 2x - 15 = 0$
По теореме Виета, корни этого уравнения $x_1 = 3$ и $x_2 = -5$.
Проверяем условие $x \ge 0$. Корень $x_1 = 3$ удовлетворяет условию, а $x_2 = -5$ — нет.
Следовательно, из этого случая получаем одно решение: $x = 3$.

Случай 2: $x < 0$.
В этом случае $|x| = -x$. Уравнение принимает вид:
$x \cdot (-x) + 2x - 15 = 0$
$-x^2 + 2x - 15 = 0$
$x^2 - 2x + 15 = 0$
Найдем дискриминант: $D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 4 - 60 = -56$.
Так как $D < 0$, действительных корней в этом случае нет.

Объединяя результаты двух случаев, получаем единственный корень.
Ответ: $3$.

4) Решим уравнение с вложенными модулями $||x^2 - 6x - 4| - 3| = 1$.
Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:
а) $|x^2 - 6x - 4| - 3 = 1$
б) $|x^2 - 6x - 4| - 3 = -1$

Рассмотрим каждое из них.
а) $|x^2 - 6x - 4| = 4$.
Это уравнение, в свою очередь, распадается на два:
а.1) $x^2 - 6x - 4 = 4 \implies x^2 - 6x - 8 = 0$.
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 36 + 32 = 68$.
$x = \frac{6 \pm \sqrt{68}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{17}}{2} = 3 \pm \sqrt{17}$.

а.2) $x^2 - 6x - 4 = -4 \implies x^2 - 6x = 0 \implies x(x - 6) = 0$.
$x = 0$ или $x = 6$.

б) $|x^2 - 6x - 4| = 2$.
Это уравнение также распадается на два:
б.1) $x^2 - 6x - 4 = 2 \implies x^2 - 6x - 6 = 0$.
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 36 + 24 = 60$.
$x = \frac{6 \pm \sqrt{60}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{15}}{2} = 3 \pm \sqrt{15}$.

б.2) $x^2 - 6x - 4 = -2 \implies x^2 - 6x - 2 = 0$.
$D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 36 + 8 = 44$.
$x = \frac{6 \pm \sqrt{44}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{11}}{2} = 3 \pm \sqrt{11}$.

Всего уравнение имеет восемь корней.
Ответ: $0; 6; 3 \pm \sqrt{11}; 3 \pm \sqrt{15}; 3 \pm \sqrt{17}$.

922. Решите уравнение:

1) $x^2 - 6x + \frac{2}{x-2} = \frac{2}{x-2} - 8;$

2) $(\sqrt{x} - 5)(15x^2 - 7x - 2) = 0;$

3) $(x^2 + 6x)(\sqrt{x} - 4)(x^2 - 8x - 48) = 0.$

1) $x^2 - 6x + \frac{2}{x-2} = \frac{2}{x-2} - 8$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x - 2 \neq 0$, следовательно, $x \neq 2$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$x^2 - 6x + \frac{2}{x-2} - \frac{2}{x-2} + 8 = 0$

Дробные члены взаимно уничтожаются:
$x^2 - 6x + 8 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его с помощью теоремы Виета. Нам нужны два числа, произведение которых равно 8, а сумма равна 6. Эти числа — 2 и 4.
$x_1 = 2$, $x_2 = 4$.

Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 2$).
Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он является посторонним.
Корень $x_2 = 4$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 4.

2) $(\sqrt{x} - 5)(15x^2 - 7x - 2) = 0$

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
1) $\sqrt{x} - 5 = 0$
$\sqrt{x} = 5$
$x_1 = 25$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($25 \ge 0$).

2) $15x^2 - 7x - 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение через дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-2) = 49 + 120 = 169 = 13^2$.
$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 13}{2 \cdot 15} = \frac{7 \pm 13}{30}$.
$x_2 = \frac{7 + 13}{30} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($\frac{2}{3} \ge 0$).
$x_3 = \frac{7 - 13}{30} = \frac{-6}{30} = -\frac{1}{5}$. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ ($-\frac{1}{5} < 0$), поэтому он является посторонним.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $\frac{2}{3}$; 25.

3) $(x^2 + 6x)(\sqrt{x-4})(x^2 - 8x - 48) = 0$

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x - 4 \ge 0$, следовательно, $x \ge 4$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, при условии соблюдения ОДЗ.
1) $x^2 + 6x = 0$
$x(x + 6) = 0$
$x_1 = 0$, $x_2 = -6$. Оба корня не удовлетворяют ОДЗ ($x \ge 4$).

2) $\sqrt{x-4} = 0$
$x - 4 = 0$
$x_3 = 4$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($4 \ge 4$).

3) $x^2 - 8x - 48 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Произведение корней равно -48, а сумма равна 8. Эти числа — 12 и -4.
$x_4 = 12$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($12 \ge 4$).
$x_5 = -4$. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ ($-4 < 4$).

Объединяем все подходящие корни.

Ответ: 4; 12.

923. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x^2 + 3x - 4} + \sqrt{x^2 + 6x + 8} = 0;$

2) $x^2 - 4x + 4 + |x^2 - 3x + 2| = 0;$

3) $\sqrt{25 - x^2} + |x^2 + 8x - 20| = 0.$

1) Данное уравнение $\sqrt{x^2 + 3x - 4} + \sqrt{x^2 + 6x + 8} = 0$ представляет собой сумму двух неотрицательных слагаемых, так как значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным. Сумма двух неотрицательных чисел равна нулю тогда и только тогда, когда каждое из них равно нулю. Следовательно, данное уравнение равносильно системе уравнений:
$\begin{cases} \sqrt{x^2 + 3x - 4} = 0 \\ \sqrt{x^2 + 6x + 8} = 0 \end{cases}$
Возведя обе части каждого уравнения в квадрат, получим систему квадратных уравнений:
$\begin{cases} x^2 + 3x - 4 = 0 \\ x^2 + 6x + 8 = 0 \end{cases}$
Решим первое уравнение $x^2 + 3x - 4 = 0$. По теореме Виета, его корни $x_1 = 1$ и $x_2 = -4$.
Решим второе уравнение $x^2 + 6x + 8 = 0$. По теореме Виета, его корни $x_1 = -2$ и $x_2 = -4$.
Решением системы является общее решение для обоих уравнений. Общим корнем является $x = -4$.
Ответ: $x = -4$

2) Рассмотрим уравнение $x^2 - 4x + 4 + |x^2 - 3x + 2| = 0$. Заметим, что первое слагаемое является полным квадратом: $x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2$. Так как квадрат любого числа и модуль любого числа являются неотрицательными величинами, то их сумма равна нулю только в том случае, если оба слагаемых одновременно равны нулю. Таким образом, уравнение равносильно системе:
$\begin{cases} (x-2)^2 = 0 \\ |x^2 - 3x + 2| = 0 \end{cases}$
Что, в свою очередь, равносильно системе:
$\begin{cases} x - 2 = 0 \\ x^2 - 3x + 2 = 0 \end{cases}$
Из первого уравнения находим, что $x = 2$.
Подставим это значение во второе уравнение, чтобы проверить, является ли оно его корнем:
$2^2 - 3(2) + 2 = 4 - 6 + 2 = 0$.
Равенство $0=0$ является верным. Значит, $x=2$ является решением системы и, следовательно, исходного уравнения.
Ответ: $x = 2$

3) Уравнение $\sqrt{25 - x^2} + |x^2 + 8x - 20| = 0$ состоит из суммы двух неотрицательных слагаемых: квадратного корня и модуля. Сумма этих слагаемых равна нулю только в том случае, если каждое из них равно нулю. Это приводит нас к системе уравнений:
$\begin{cases} \sqrt{25 - x^2} = 0 \\ |x^2 + 8x - 20| = 0 \end{cases}$
Упростим систему:
$\begin{cases} 25 - x^2 = 0 \\ x^2 + 8x - 20 = 0 \end{cases}$
Решим первое уравнение: $25 - x^2 = 0 \Rightarrow x^2 = 25 \Rightarrow x_1 = 5, x_2 = -5$.
Решим второе уравнение: $x^2 + 8x - 20 = 0$. Найдем дискриминант: $D = 8^2 - 4(1)(-20) = 64 + 80 = 144 = 12^2$.
Корни уравнения: $x_1 = \frac{-8 - 12}{2} = -10$ и $x_2 = \frac{-8 + 12}{2} = 2$.
Решением системы являются общие корни двух уравнений. Сравнивая множества корней первого уравнения $\{5, -5\}$ и второго уравнения $\{-10, 2\}$, мы видим, что у них нет общих элементов. Следовательно, система не имеет решений.
Ответ: нет корней

924. Не вычисляя дискриминант, найдите, при каком значении $a$ уравнение:

1) $x^2 + 22x + a = 0;$

2) $x^2 - ax + 81 = 0$

имеет единственный корень. Найдите этот корень.

Квадратное уравнение имеет единственный корень тогда и только тогда, когда его левая часть является полным квадратом. Для решения задачи воспользуемся формулами сокращенного умножения для квадрата суммы и квадрата разности:

$ (x+k)^2 = x^2 + 2kx + k^2 $

$ (x-k)^2 = x^2 - 2kx + k^2 $

Единственный корень в первом случае будет $x = -k$, а во втором $x = k$.

Рассмотрим уравнение $x^2 + 22x + a = 0$. Чтобы оно имело один корень, его левая часть должна быть полным квадратом. Сравним это выражение с формулой $(x+k)^2 = x^2 + 2kx + k^2$.

Приравнивая коэффициенты при $x$, получаем: $2kx = 22x$, откуда $2k = 22$, и, следовательно, $k = 11$.

Теперь приравниваем свободные члены: $a = k^2$. Подставляя найденное значение $k$, находим $a$:

$a = 11^2 = 121$.

При $a=121$ уравнение принимает вид $x^2 + 22x + 121 = 0$, что можно записать как $(x+11)^2 = 0$.

Отсюда находим единственный корень: $x + 11 = 0$, то есть $x = -11$.

Ответ: при $a = 121$, единственный корень $x = -11$.

Рассмотрим уравнение $x^2 - ax + 81 = 0$. Снова сравним его с формулами полного квадрата. Свободный член в уравнении равен $81$.

Из сравнения со свободным членом в формулах полного квадрата ($k^2$) получаем: $k^2 = 81$. Это дает два возможных значения для $k$: $k = 9$ или $k = -9$. Однако, так как $(x-k)^2 = (x+(-k))^2$, мы можем рассмотреть $k=9$ и две формы полного квадрата.

Случай 1: Левая часть является квадратом разности.
Сравниваем $x^2 - ax + 81$ с $(x-k)^2 = x^2 - 2kx + k^2$.
У нас $k^2 = 81$, возьмем $k=9$. Тогда коэффициент при $x$ будет $-2k = -2 \cdot 9 = -18$.
Приравниваем коэффициенты при $x$ из нашего уравнения и формулы: $-a = -18$, откуда $a = 18$.
В этом случае уравнение становится $x^2 - 18x + 81 = 0$, или $(x-9)^2 = 0$.
Единственный корень: $x-9=0$, то есть $x = 9$.

Случай 2: Левая часть является квадратом суммы.
Сравниваем $x^2 - ax + 81$ с $(x+k)^2 = x^2 + 2kx + k^2$.
У нас $k^2 = 81$, возьмем $k=9$. Тогда коэффициент при $x$ будет $2k = 2 \cdot 9 = 18$.
Приравниваем коэффициенты при $x$: $-a = 18$, откуда $a = -18$.
В этом случае уравнение становится $x^2 - (-18)x + 81 = 0$, или $x^2 + 18x + 81 = 0$, что равносильно $(x+9)^2 = 0$.
Единственный корень: $x+9=0$, то есть $x = -9$.

Таким образом, существуют два значения параметра $a$, при которых уравнение имеет единственный корень.

Ответ: при $a = 18$, единственный корень $x = 9$; при $a = -18$, единственный корень $x = -9$.

925. При каком значении $b$ корнями уравнения $x^2 + bx - 23 = 0$ являются противоположные числа? Найдите эти корни.

Рассмотрим данное квадратное уравнение $x^2 + bx - 23 = 0$.

По условию задачи, корни этого уравнения, которые мы обозначим как $x_1$ и $x_2$, являются противоположными числами. Это означает, что $x_2 = -x_1$. Из этого следует, что их сумма равна нулю: $x_1 + x_2 = x_1 + (-x_1) = 0$.

При каком значении b корни уравнения $x^2 + bx - 23 = 0$ являются противоположные числа?

Для ответа на этот вопрос воспользуемся теоремой Виета. Для приведённого квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ сумма корней $x_1 + x_2$ равна коэффициенту $p$, взятому с противоположным знаком, то есть $x_1 + x_2 = -p$.

В нашем уравнении $x^2 + bx - 23 = 0$ роль коэффициента $p$ играет $b$. Следовательно, по теореме Виета: $x_1 + x_2 = -b$.

Так как из условия противоположности корней мы знаем, что их сумма равна 0, мы можем составить уравнение: $-b = 0$.

Отсюда находим значение $b$: $b = 0$.

Ответ: $b = 0$.

Найдите эти корни.

Теперь, когда мы определили, что $b=0$, мы можем найти сами корни. Для этого подставим найденное значение $b$ в исходное уравнение:

$x^2 + (0) \cdot x - 23 = 0$

Уравнение упрощается до вида:

$x^2 - 23 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесём свободный член в правую часть:

$x^2 = 23$

Чтобы найти $x$, извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{23}$

Таким образом, мы получили два корня: $x_1 = \sqrt{23}$ и $x_2 = -\sqrt{23}$. Эти корни действительно являются противоположными числами, что подтверждает правильность наших рассуждений.

Ответ: корни уравнения: $\sqrt{23}$ и $-\sqrt{23}$.

926. Число $-\frac{1}{3}$ является корнем уравнения $12x^2 - bx + 5 = 0$. Найдите значение $b$ и второй корень уравнения.

Задача состоит из двух частей: найти значение коэффициента $b$ и найти второй корень уравнения.

1. Нахождение значения b

По условию, число $x = -\frac{1}{3}$ является корнем уравнения $12x^2 - bx + 5 = 0$. Это значит, что при подстановке этого значения в уравнение мы получим верное числовое равенство. Выполним подстановку:

$12 \cdot \left(-\frac{1}{3}\right)^2 - b \cdot \left(-\frac{1}{3}\right) + 5 = 0$

Теперь решим полученное уравнение относительно $b$. Сначала возведем в квадрат $-\frac{1}{3}$:

$12 \cdot \frac{1}{9} + \frac{b}{3} + 5 = 0$

Умножим 12 на $\frac{1}{9}$ и сократим полученную дробь:

$\frac{12}{9} + \frac{b}{3} + 5 = 0$

$\frac{4}{3} + \frac{b}{3} + 5 = 0$

Сложим дроби с одинаковым знаменателем:

$\frac{4+b}{3} + 5 = 0$

Перенесем 5 в правую часть уравнения, изменив знак:

$\frac{4+b}{3} = -5$

Умножим обе части уравнения на 3:

$4 + b = -15$

$b = -15 - 4$

$b = -19$

Ответ: $b = -19$.

2. Нахождение второго корня уравнения

Теперь, зная $b = -19$, мы можем записать исходное уравнение полностью:

$12x^2 - (-19)x + 5 = 0$

$12x^2 + 19x + 5 = 0$

Для нахождения второго корня ($x_2$) удобно воспользоваться теоремой Виета. Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения, произведение корней $x_1$ и $x_2$ равно свободному члену, деленному на старший коэффициент:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

В нашем уравнении $a = 12$, $c = 5$, и один из корней $x_1 = -\frac{1}{3}$. Подставим эти значения в формулу:

$-\frac{1}{3} \cdot x_2 = \frac{5}{12}$

Выразим $x_2$:

$x_2 = \frac{5}{12} \div \left(-\frac{1}{3}\right)$

$x_2 = \frac{5}{12} \cdot (-3)$

$x_2 = -\frac{5 \cdot 3}{12} = -\frac{15}{12}$

Сократим дробь на 3:

$x_2 = -\frac{5}{4}$

Ответ: второй корень уравнения равен $-\frac{5}{4}$ (или -1,25).

927. Число 0,2 является корнем уравнения $8x^2 - 3.2x + k = 0$. Найдите значение $k$ и второй корень уравнения.

По условию, число 0,2 является корнем уравнения $8x^2 - 3.2x + k = 0$. Это означает, что если подставить значение $x=0.2$ в уравнение, мы получим верное числовое равенство. Сделаем это, чтобы найти значение коэффициента $k$.

$8 \cdot (0.2)^2 - 3.2 \cdot (0.2) + k = 0$

Выполним вычисления:

$8 \cdot 0.04 - 0.64 + k = 0$

$0.32 - 0.64 + k = 0$

$-0.32 + k = 0$

Отсюда находим $k$:

$k = 0.32$

Теперь, зная значение $k$, мы можем найти второй корень уравнения. Исходное уравнение принимает вид:

$8x^2 - 3.2x + 0.32 = 0$

Для нахождения второго корня ($x_2$) воспользуемся теоремой Виета. Для квадратного уравнения вида $ax^2 + bx + c = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$ справедливы следующие соотношения:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -\frac{b}{a}$

Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a}$

В нашем случае коэффициенты равны $a=8$, $b=-3.2$, $c=0.32$. Один из корней, $x_1$, нам известен и равен 0,2. Используем формулу для суммы корней, чтобы найти второй корень $x_2$:

$x_1 + x_2 = - \frac{-3.2}{8}$

$0.2 + x_2 = \frac{3.2}{8}$

$0.2 + x_2 = 0.4$

$x_2 = 0.4 - 0.2$

$x_2 = 0.2$

Таким образом, второй корень уравнения также равен 0,2. Это означает, что уравнение имеет один корень кратности 2.

Ответ: $k=0.32$; второй корень уравнения равен $0.2$.

928. Корни $x_1$ и $x_2$ уравнения $x^2 - bx + 20 = 0$ удовлетворяют условию $x_1 = 5x_2$. Найдите значение $b$ и корни уравнения.

Для решения данного квадратного уравнения $x^2 - bx + 20 = 0$ с корнями $x_1$ и $x_2$, которые удовлетворяют условию $x_1 = 5x_2$, воспользуемся теоремой Виета.

Согласно теореме Виета для приведенного квадратного уравнения:
Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-b) = b$
Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = 20$

Вместе с данным в условии соотношением $x_1 = 5x_2$ мы получаем систему из трех уравнений:
$ \begin{cases} x_1 + x_2 = b \\ x_1 \cdot x_2 = 20 \\ x_1 = 5x_2 \end{cases} $

Нахождение корней уравнения
Чтобы найти корни, подставим выражение для $x_1$ из третьего уравнения системы во второе:
$(5x_2) \cdot x_2 = 20$
$5x_2^2 = 20$
Разделим обе части на 5:
$x_2^2 = 4$
Отсюда получаем два возможных значения для $x_2$: $x_2 = 2$ и $x_2 = -2$.
Теперь найдем соответствующее значение $x_1$ для каждого случая:
1. Если $x_2 = 2$, то $x_1 = 5 \cdot 2 = 10$.
2. Если $x_2 = -2$, то $x_1 = 5 \cdot (-2) = -10$.
Таким образом, существуют два возможных набора корней: (10, 2) и (-10, -2).

Нахождение значения b
Найдем соответствующее значение коэффициента $b$ для каждого набора корней, используя первое уравнение системы $b = x_1 + x_2$:
1. Для корней 10 и 2: $b = 10 + 2 = 12$.
2. Для корней -10 и -2: $b = -10 + (-2) = -12$.

Ответ: Задача имеет два решения:
1. При $b = 12$ корни уравнения равны $10$ и $2$.
2. При $b = -12$ корни уравнения равны $-10$ и $-2$.