Номер 918, страница 226 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 918, страница 226.

Условие.

918. Решите уравнение:

1) $x^2 - 4x - 32 = 0;$

2) $x^2 - 10x + 21 = 0;$

3) $6x^2 - 5x + 1 = 0;$

4) $8x^2 + 2x - 3 = 0;$

5) $x^2 + 6x - 15 = 0;$

6) $3x^2 - x - 5 = 0;$

7) $4x^2 + 28x + 49 = 0;$

8) $x^2 - 16x + 71 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Решим уравнение $x^2 - 4x - 32 = 0$.
Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$ с коэффициентами: $a = 1$, $b = -4$, $c = -32$.
Найдем дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-32) = 16 + 128 = 144$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. $\sqrt{D} = \sqrt{144} = 12$.
Корни находим по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:
$x_1 = \frac{-(-4) + 12}{2 \cdot 1} = \frac{4 + 12}{2} = \frac{16}{2} = 8$.
$x_2 = \frac{-(-4) - 12}{2 \cdot 1} = \frac{4 - 12}{2} = \frac{-8}{2} = -4$.
Ответ: -4; 8.

2) Решим уравнение $x^2 - 10x + 21 = 0$.
Коэффициенты: $a = 1$, $b = -10$, $c = 21$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 21 = 100 - 84 = 16$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{16} = 4$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-(-10) + 4}{2 \cdot 1} = \frac{10 + 4}{2} = \frac{14}{2} = 7$.
$x_2 = \frac{-(-10) - 4}{2 \cdot 1} = \frac{10 - 4}{2} = \frac{6}{2} = 3$.
Ответ: 3; 7.

3) Решим уравнение $6x^2 - 5x + 1 = 0$.
Коэффициенты: $a = 6$, $b = -5$, $c = 1$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{1} = 1$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-(-5) + 1}{2 \cdot 6} = \frac{5 + 1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$.
$x_2 = \frac{-(-5) - 1}{2 \cdot 6} = \frac{5 - 1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3}$.
Ответ: $\frac{1}{3}$; $\frac{1}{2}$.

4) Решим уравнение $8x^2 + 2x - 3 = 0$.
Коэффициенты: $a = 8$, $b = 2$, $c = -3$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-3) = 4 + 96 = 100$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{100} = 10$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-2 + 10}{2 \cdot 8} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.
$x_2 = \frac{-2 - 10}{2 \cdot 8} = \frac{-12}{16} = -\frac{3}{4}$.
Ответ: $-\frac{3}{4}$; $\frac{1}{2}$.

5) Решим уравнение $x^2 + 6x - 15 = 0$.
Коэффициенты: $a = 1$, $b = 6$, $c = -15$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 36 + 60 = 96$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6}$.
Найдем корни:
$x_1 = \frac{-6 + 4\sqrt{6}}{2 \cdot 1} = \frac{2(-3 + 2\sqrt{6})}{2} = -3 + 2\sqrt{6}$.
$x_2 = \frac{-6 - 4\sqrt{6}}{2 \cdot 1} = \frac{2(-3 - 2\sqrt{6})}{2} = -3 - 2\sqrt{6}$.
Ответ: $-3 - 2\sqrt{6}$; $-3 + 2\sqrt{6}$.

6) Решим уравнение $3x^2 - x - 5 = 0$.
Коэффициенты: $a = 3$, $b = -1$, $c = -5$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-5) = 1 + 60 = 61$.
Так как $D > 0$, уравнение имеет два корня. $\sqrt{D} = \sqrt{61}$.
Найдем корни:
$x_{1,2} = \frac{-(-1) \pm \sqrt{61}}{2 \cdot 3} = \frac{1 \pm \sqrt{61}}{6}$.
Ответ: $\frac{1 - \sqrt{61}}{6}$; $\frac{1 + \sqrt{61}}{6}$.

7) Решим уравнение $4x^2 + 28x + 49 = 0$.
Можно заметить, что левая часть является полным квадратом: $4x^2 = (2x)^2$, $49 = 7^2$, и $2 \cdot (2x) \cdot 7 = 28x$.
Следовательно, уравнение можно переписать как $(2x + 7)^2 = 0$.
$2x + 7 = 0$
$2x = -7$
$x = -\frac{7}{2} = -3.5$
Либо через дискриминант: $a = 4$, $b = 28$, $c = 49$.
$D = b^2 - 4ac = 28^2 - 4 \cdot 4 \cdot 49 = 784 - 16 \cdot 49 = 784 - 784 = 0$.
Так как $D = 0$, уравнение имеет один корень: $x = \frac{-b}{2a} = \frac{-28}{2 \cdot 4} = \frac{-28}{8} = -\frac{7}{2} = -3.5$.
Ответ: -3,5.

8) Решим уравнение $x^2 - 16x + 71 = 0$.
Коэффициенты: $a = 1$, $b = -16$, $c = 71$.
Найдем дискриминант: $D = b^2 - 4ac = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 71 = 256 - 284 = -28$.
Так как $D < 0$, уравнение не имеет действительных корней.
Ответ: нет действительных корней.