Номер 925, страница 226 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 925, страница 226.

Условие.

925. При каком значении $b$ корнями уравнения $x^2 + bx - 23 = 0$ являются противоположные числа? Найдите эти корни.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Рассмотрим данное квадратное уравнение $x^2 + bx - 23 = 0$.

По условию задачи, корни этого уравнения, которые мы обозначим как $x_1$ и $x_2$, являются противоположными числами. Это означает, что $x_2 = -x_1$. Из этого следует, что их сумма равна нулю: $x_1 + x_2 = x_1 + (-x_1) = 0$.

При каком значении b корни уравнения $x^2 + bx - 23 = 0$ являются противоположные числа?

Для ответа на этот вопрос воспользуемся теоремой Виета. Для приведённого квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ сумма корней $x_1 + x_2$ равна коэффициенту $p$, взятому с противоположным знаком, то есть $x_1 + x_2 = -p$.

В нашем уравнении $x^2 + bx - 23 = 0$ роль коэффициента $p$ играет $b$. Следовательно, по теореме Виета: $x_1 + x_2 = -b$.

Так как из условия противоположности корней мы знаем, что их сумма равна 0, мы можем составить уравнение: $-b = 0$.

Отсюда находим значение $b$: $b = 0$.

Ответ: $b = 0$.

Найдите эти корни.

Теперь, когда мы определили, что $b=0$, мы можем найти сами корни. Для этого подставим найденное значение $b$ в исходное уравнение:

$x^2 + (0) \cdot x - 23 = 0$

Уравнение упрощается до вида:

$x^2 - 23 = 0$

Это неполное квадратное уравнение. Перенесём свободный член в правую часть:

$x^2 = 23$

Чтобы найти $x$, извлечём квадратный корень из обеих частей уравнения:

$x = \pm\sqrt{23}$

Таким образом, мы получили два корня: $x_1 = \sqrt{23}$ и $x_2 = -\sqrt{23}$. Эти корни действительно являются противоположными числами, что подтверждает правильность наших рассуждений.

Ответ: корни уравнения: $\sqrt{23}$ и $-\sqrt{23}$.