Номер 932, страница 227 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 932, страница 227.

Условие.

932. При каких значениях $a$ уравнение $\frac{x^2 - 2ax + 3}{x - 2} = 0$ имеет единственный корень?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Исходное уравнение $\frac{x^2 - 2ax + 3}{x - 2} = 0$ является рациональным. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это равносильно системе уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - 2ax + 3 = 0 \\ x - 2 \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x^2 - 2ax + 3 = 0 \\ x \neq 2 \end{cases} $

Таким образом, нам нужно найти такие значения параметра $a$, при которых квадратное уравнение $x^2 - 2ax + 3 = 0$ имеет ровно один корень, не равный 2. Это возможно в двух случаях.

Случай 1: Квадратное уравнение имеет один корень (дискриминант равен нулю), и этот корень не равен 2.

Найдем дискриминант $D$ квадратного уравнения $x^2 - 2ax + 3 = 0$. Коэффициенты: $A=1$, $B=-2a$, $C=3$.

$D = B^2 - 4AC = (-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4a^2 - 12$.

Уравнение имеет один корень при $D=0$:

$4a^2 - 12 = 0$

$4a^2 = 12$

$a^2 = 3$

$a = \sqrt{3}$ или $a = -\sqrt{3}$.

Теперь найдем корень уравнения для каждого из этих значений $a$ и проверим, не равен ли он 2. Корень уравнения при $D=0$ вычисляется по формуле $x = -\frac{B}{2A}$.

$x = -\frac{-2a}{2 \cdot 1} = a$.

Если $a = \sqrt{3}$, то корень $x = \sqrt{3}$. Так как $\sqrt{3} \neq 2$, это значение $a$ подходит.

Если $a = -\sqrt{3}$, то корень $x = -\sqrt{3}$. Так как $-\sqrt{3} \neq 2$, это значение $a$ тоже подходит.

Случай 2: Квадратное уравнение имеет два различных корня (дискриминант больше нуля), но один из них равен 2.

Уравнение имеет два различных корня при $D > 0$, то есть $4a^2 - 12 > 0$, что эквивалентно $a^2 > 3$.

Один из корней должен быть равен 2. Подставим $x=2$ в квадратное уравнение $x^2 - 2ax + 3 = 0$, чтобы найти соответствующее значение $a$:

$2^2 - 2a \cdot 2 + 3 = 0$

$4 - 4a + 3 = 0$

$7 - 4a = 0$

$4a = 7$

$a = \frac{7}{4}$.

Проверим, выполняется ли для этого значения $a$ условие $D > 0$ (или $a^2 > 3$):

$a^2 = (\frac{7}{4})^2 = \frac{49}{16}$.

Сравним $\frac{49}{16}$ и $3$: $\frac{49}{16} > \frac{48}{16} = 3$. Условие выполняется, значит, при $a=\frac{7}{4}$ уравнение $x^2 - 2ax + 3 = 0$ имеет два различных корня. Один из них, как мы установили, равен 2, а другой корень будет единственным решением исходного уравнения. (Для проверки, найдем второй корень по теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = 3 \implies 2 \cdot x_2 = 3 \implies x_2 = \frac{3}{2}$. Так как $\frac{3}{2} \neq 2$, второй корень не совпадает с первым, и исходное уравнение имеет единственный корень $x = \frac{3}{2}$).

Следовательно, значение $a=\frac{7}{4}$ также является решением задачи.

Объединяя результаты обоих случаев, получаем все значения $a$, при которых исходное уравнение имеет единственный корень.

Ответ: $a \in \{-\sqrt{3}, \sqrt{3}, \frac{7}{4}\}$.