Номер 932, страница 227 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Авторы: Мерзляк А. Г., Полонский В. Б., Якир М. С.
Тип: Учебник
Издательство: Просвещение, Вентана-граф
Год издания: 2018 - 2022
Цвет обложки: розовый, фиолетовый, голубой с папками
ISBN: 978-5-360-12162-6
Рекомендовано Министерством образования и науки Российской Федерации
Популярные ГДЗ в 8 классе
Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 932, страница 227.
№932 (с. 227)
Условие. №932 (с. 227)
скриншот условия

932. При каких значениях $a$ уравнение $\frac{x^2 - 2ax + 3}{x - 2} = 0$ имеет единственный корень?
Решение 1. №932 (с. 227)

Решение 2. №932 (с. 227)

Решение 3. №932 (с. 227)

Решение 4. №932 (с. 227)

Решение 5. №932 (с. 227)

Решение 7. №932 (с. 227)

Решение 8. №932 (с. 227)
Исходное уравнение $\frac{x^2 - 2ax + 3}{x - 2} = 0$ является рациональным. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это равносильно системе уравнений:
$ \begin{cases} x^2 - 2ax + 3 = 0 \\ x - 2 \neq 0 \end{cases} \implies \begin{cases} x^2 - 2ax + 3 = 0 \\ x \neq 2 \end{cases} $
Таким образом, нам нужно найти такие значения параметра $a$, при которых квадратное уравнение $x^2 - 2ax + 3 = 0$ имеет ровно один корень, не равный 2. Это возможно в двух случаях.
Случай 1: Квадратное уравнение имеет один корень (дискриминант равен нулю), и этот корень не равен 2.
Найдем дискриминант $D$ квадратного уравнения $x^2 - 2ax + 3 = 0$. Коэффициенты: $A=1$, $B=-2a$, $C=3$.
$D = B^2 - 4AC = (-2a)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4a^2 - 12$.
Уравнение имеет один корень при $D=0$:
$4a^2 - 12 = 0$
$4a^2 = 12$
$a^2 = 3$
$a = \sqrt{3}$ или $a = -\sqrt{3}$.
Теперь найдем корень уравнения для каждого из этих значений $a$ и проверим, не равен ли он 2. Корень уравнения при $D=0$ вычисляется по формуле $x = -\frac{B}{2A}$.
$x = -\frac{-2a}{2 \cdot 1} = a$.
Если $a = \sqrt{3}$, то корень $x = \sqrt{3}$. Так как $\sqrt{3} \neq 2$, это значение $a$ подходит.
Если $a = -\sqrt{3}$, то корень $x = -\sqrt{3}$. Так как $-\sqrt{3} \neq 2$, это значение $a$ тоже подходит.
Случай 2: Квадратное уравнение имеет два различных корня (дискриминант больше нуля), но один из них равен 2.
Уравнение имеет два различных корня при $D > 0$, то есть $4a^2 - 12 > 0$, что эквивалентно $a^2 > 3$.
Один из корней должен быть равен 2. Подставим $x=2$ в квадратное уравнение $x^2 - 2ax + 3 = 0$, чтобы найти соответствующее значение $a$:
$2^2 - 2a \cdot 2 + 3 = 0$
$4 - 4a + 3 = 0$
$7 - 4a = 0$
$4a = 7$
$a = \frac{7}{4}$.
Проверим, выполняется ли для этого значения $a$ условие $D > 0$ (или $a^2 > 3$):
$a^2 = (\frac{7}{4})^2 = \frac{49}{16}$.
Сравним $\frac{49}{16}$ и $3$: $\frac{49}{16} > \frac{48}{16} = 3$. Условие выполняется, значит, при $a=\frac{7}{4}$ уравнение $x^2 - 2ax + 3 = 0$ имеет два различных корня. Один из них, как мы установили, равен 2, а другой корень будет единственным решением исходного уравнения. (Для проверки, найдем второй корень по теореме Виета: $x_1 \cdot x_2 = 3 \implies 2 \cdot x_2 = 3 \implies x_2 = \frac{3}{2}$. Так как $\frac{3}{2} \neq 2$, второй корень не совпадает с первым, и исходное уравнение имеет единственный корень $x = \frac{3}{2}$).
Следовательно, значение $a=\frac{7}{4}$ также является решением задачи.
Объединяя результаты обоих случаев, получаем все значения $a$, при которых исходное уравнение имеет единственный корень.
Ответ: $a \in \{-\sqrt{3}, \sqrt{3}, \frac{7}{4}\}$.
Другие задания:
Помогло решение? Оставьте отзыв в комментариях ниже.
Присоединяйтесь к Телеграм-группе @top_gdz
ПрисоединитьсяМы подготовили для вас ответ c подробным объяснением домашего задания по алгебре за 8 класс, для упражнения номер 932 расположенного на странице 227 к учебнику 2018 - 2022 года издания для учащихся школ и гимназий.
Теперь на нашем сайте ГДЗ.ТОП вы всегда легко и бесплатно найдёте условие с правильным ответом на вопрос «Как решить ДЗ» и «Как сделать» задание по алгебре к упражнению №932 (с. 227), авторов: Мерзляк (Аркадий Григорьевич), Полонский (Виталий Борисович), Якир (Михаил Семёнович), учебного пособия издательства Просвещение, Вентана-граф.