Номер 935, страница 227 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 935, страница 227.

Условие.

935. Известно, что $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $x^2 - (2a - 5)x + a^2 - 7 = 0$.

При каком значении $a$ выполняется равенство $2x_1 + 2x_2 = x_1x_2$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Дано квадратное уравнение $x^2 - (2a - 5)x + a^2 - 7 = 0$, где $x_1$ и $x_2$ — его корни. Требуется найти значение параметра $a$, при котором выполняется равенство $2x_1 + 2x_2 = x_1x_2$.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета. Для приведенного квадратного уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ сумма корней $x_1 + x_2 = -p$, а произведение корней $x_1 x_2 = q$.

В нашем уравнении коэффициенты равны:

$p = -(2a - 5)$

$q = a^2 - 7$

Согласно теореме Виета, имеем:

Сумма корней: $x_1 + x_2 = -(-(2a - 5)) = 2a - 5$.

Произведение корней: $x_1 x_2 = a^2 - 7$.

Теперь подставим эти выражения в заданное условие $2x_1 + 2x_2 = x_1x_2$. Вынесем 2 за скобки в левой части: $2(x_1 + x_2) = x_1x_2$.

Заменяем сумму и произведение корней на выражения с параметром $a$:

$2(2a - 5) = a^2 - 7$

Решим полученное уравнение относительно $a$:

$4a - 10 = a^2 - 7$

$a^2 - 4a - 7 + 10 = 0$

$a^2 - 4a + 3 = 0$

Это квадратное уравнение относительно $a$. Его можно решить разложением на множители. Найдем два числа, произведение которых равно 3, а сумма равна -4. Это числа -1 и -3. Тогда:

$(a - 1)(a - 3) = 0$

Отсюда получаем два возможных значения для $a$: $a_1 = 1$ и $a_2 = 3$.

Необходимо также учесть, что исходное квадратное уравнение должно иметь действительные корни. Условием существования действительных корней является неотрицательность дискриминанта ($D \ge 0$).

Найдем дискриминант исходного уравнения $x^2 - (2a - 5)x + a^2 - 7 = 0$:

$D = (-(2a - 5))^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 - 7)$

$D = (2a - 5)^2 - 4(a^2 - 7)$

$D = (4a^2 - 20a + 25) - (4a^2 - 28)$

$D = 4a^2 - 20a + 25 - 4a^2 + 28$

$D = -20a + 53$

Условие $D \ge 0$ принимает вид:

$-20a + 53 \ge 0$

$53 \ge 20a$

$a \le \frac{53}{20}$

$a \le 2.65$

Теперь проверим, удовлетворяют ли найденные значения $a$ этому условию.

1. При $a = 1$: $1 \le 2.65$. Это верное неравенство, следовательно, $a = 1$ является решением.

2. При $a = 3$: $3 \le 2.65$. Это неверное неравенство. Следовательно, при $a = 3$ исходное уравнение не имеет действительных корней, и это значение не является решением задачи.

Таким образом, единственное подходящее значение параметра — это $a=1$.

Ответ: 1.