Номер 937, страница 227 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 937, страница 227.

Условие.

937. Автобус должен был проехать 255 км. Проехав $ \frac{7}{17} $ пути, он остановился на 1 ч, а затем продолжил движение со скоростью на 5 км/ч меньше начальной. Найдите начальную скорость автобуса, если в пункт назначения он прибыл через 9 ч после выезда.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Обозначим начальную скорость автобуса как $v$ км/ч. Согласно условию, на втором участке пути его скорость была $v - 5$ км/ч.

Сначала найдем расстояние, которое автобус проехал до остановки. Это $\frac{7}{17}$ от общего пути в 255 км:

$S_1 = 255 \cdot \frac{7}{17} = 15 \cdot 7 = 105$ км.

Теперь найдем оставшееся расстояние, которое автобус проехал после остановки:

$S_2 = 255 - 105 = 150$ км.

Общее время поездки составило 9 часов, из которых 1 час ушел на остановку. Значит, чистое время движения автобуса равно $9 - 1 = 8$ часов.

Время, затраченное на первый участок, равно $t_1 = \frac{S_1}{v} = \frac{105}{v}$ ч. Время, затраченное на второй участок, равно $t_2 = \frac{S_2}{v-5} = \frac{150}{v-5}$ ч.

Сумма времени движения на двух участках равна общему времени движения. Составим и решим уравнение:

$t_1 + t_2 = 8$

$\frac{105}{v} + \frac{150}{v-5} = 8$

Приведем уравнение к общему знаменателю $v(v-5)$. Учтем, что скорость не может быть отрицательной или равной нулю, а также скорость на втором участке $v-5$ должна быть положительной, поэтому $v > 5$.

$105(v-5) + 150v = 8v(v-5)$

$105v - 525 + 150v = 8v^2 - 40v$

$255v - 525 = 8v^2 - 40v$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$8v^2 - 40v - 255v + 525 = 0$

$8v^2 - 295v + 525 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-295)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 525 = 87025 - 16800 = 70225$

Найдем корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{70225} = 265$.

Теперь найдем корни уравнения для скорости $v$:

$v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{295 + 265}{2 \cdot 8} = \frac{560}{16} = 35$

$v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{295 - 265}{2 \cdot 8} = \frac{30}{16} = 1.875$

Проверим полученные значения. Корень $v_2 = 1.875$ не подходит по условию $v > 5$, так как при такой начальной скорости скорость на втором участке ($v-5$) была бы отрицательной, что физически невозможно.

Корень $v_1 = 35$ удовлетворяет условию $v > 5$. Следовательно, это и есть искомая начальная скорость автобуса.

Ответ: 35 км/ч.