Номер 933, страница 227 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 933, страница 227.

Условие.

933. Верно ли утверждение (ответ обоснуйте):

1) если число $m$ является корнем квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, то число $-m$ является корнем уравнения $ax^2 - bx + c = 0$;

2) если число $m$ является корнем квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, где $c \ne 0$, то число $\frac{1}{m}$ является корнем уравнения $cx^2 + bx + a = 0$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) если число $m$ является корнем квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, то число $-m$ является корнем уравнения $ax^2 - bx + c = 0$;

Да, утверждение верно. По условию, число $m$ является корнем уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Это означает, что при подстановке $x = m$ в уравнение, мы получаем верное равенство: $am^2 + bm + c = 0$. Теперь проверим, является ли число $-m$ корнем уравнения $ax^2 - bx + c = 0$. Для этого подставим $x = -m$ в это уравнение: $a(-m)^2 - b(-m) + c = a(m^2) + b \cdot m + c = am^2 + bm + c$. Так как из условия мы знаем, что $am^2 + bm + c = 0$, то и полученное выражение равно нулю. Следовательно, $-m$ является корнем уравнения $ax^2 - bx + c = 0$.

Ответ: да, утверждение верно.

2) если число $m$ является корнем квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, где $c \ne 0$, то число $\frac{1}{m}$ является корнем уравнения $cx^2 + bx + a = 0$?

Да, утверждение верно. По условию, число $m$ является корнем уравнения $ax^2 + bx + c = 0$. Это означает, что выполняется равенство: $am^2 + bm + c = 0$. Поскольку $c \ne 0$, то $m \ne 0$. Если бы $m = 0$ было корнем, то из равенства $am^2 + bm + c = 0$ следовало бы, что $a \cdot 0^2 + b \cdot 0 + c = 0$, то есть $c = 0$, что противоречит условию. Раз $m \ne 0$, то выражение $\frac{1}{m}$ имеет смысл. Теперь проверим, является ли число $\frac{1}{m}$ корнем уравнения $cx^2 + bx + a = 0$. Подставим $x = \frac{1}{m}$ в это уравнение: $c\left(\frac{1}{m}\right)^2 + b\left(\frac{1}{m}\right) + a = c \cdot \frac{1}{m^2} + \frac{b}{m} + a$. Приведем это выражение к общему знаменателю $m^2$: $\frac{c}{m^2} + \frac{bm}{m^2} + \frac{am^2}{m^2} = \frac{c + bm + am^2}{m^2} = \frac{am^2 + bm + c}{m^2}$. Из условия мы знаем, что числитель этой дроби $am^2 + bm + c = 0$. Поскольку $m \ne 0$, то и $m^2 \ne 0$. Таким образом, значение всего выражения равно $\frac{0}{m^2} = 0$. Следовательно, $\frac{1}{m}$ является корнем уравнения $cx^2 + bx + a = 0$.

Ответ: да, утверждение верно.