Номер 934, страница 227 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 934, страница 227.

Условие.

934. Найдите все целые значения $b$, при которых имеет целые корни урав-нение:

1) $x^2 + bx - 6 = 0;$

2) $x^2 + bx + 21 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения $x^2 + px + q = 0$. Если $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения, то справедливы соотношения:

$x_1 + x_2 = -p$

$x_1 \cdot x_2 = q$

По условию, параметр $b$ и корни уравнения являются целыми числами. Если корни $x_1, x_2$ и коэффициент $b$ — целые, а свободный член ($-6$ или $21$) также целый, то из теоремы Виета следует, что целочисленные корни $x_1$ и $x_2$ должны быть делителями свободного члена.

1) $x^2 + bx - 6 = 0$

Пусть $x_1$ и $x_2$ — целые корни данного уравнения. Согласно теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -b$

$x_1 \cdot x_2 = -6$

Из второго уравнения следует, что корни $x_1$ и $x_2$ являются парой целочисленных делителей числа -6. Из первого уравнения, так как $x_1$ и $x_2$ — целые, их сумма $x_1+x_2$ также будет целым числом, а значит и $b = -(x_1 + x_2)$ будет целым, что соответствует условию задачи. Найдем все пары целых делителей числа -6 и вычислим для них $b$.

Возможные пары делителей $(x_1, x_2)$ и соответствующие значения $b$:

• Если пара корней $(1, -6)$, то $b = -(1 + (-6)) = -(-5) = 5$.
• Если пара корней $(-1, 6)$, то $b = -(-1 + 6) = -(5) = -5$.
• Если пара корней $(2, -3)$, то $b = -(2 + (-3)) = -(-1) = 1$.
• Если пара корней $(-2, 3)$, то $b = -(-2 + 3) = -(1) = -1$.

Все остальные пары, такие как $(6, -1)$ или $(-6, 1)$, являются перестановками уже рассмотренных и дадут те же самые значения для $b$.

Ответ: $b \in \{-5, -1, 1, 5\}$.

2) $x^2 + bx + 21 = 0$

Аналогично, пусть $x_1$ и $x_2$ — целые корни данного уравнения. По теореме Виета:

$x_1 + x_2 = -b$

$x_1 \cdot x_2 = 21$

Корни $x_1$ и $x_2$ должны быть парой целочисленных делителей числа 21. Найдем все такие пары и вычислим для них $b = -(x_1 + x_2)$.

Возможные пары делителей $(x_1, x_2)$ и соответствующие значения $b$:

• Если пара корней $(1, 21)$, то $b = -(1 + 21) = -22$.
• Если пара корней $(-1, -21)$, то $b = -(-1 + (-21)) = -(-22) = 22$.
• Если пара корней $(3, 7)$, то $b = -(3 + 7) = -10$.
• Если пара корней $(-3, -7)$, то $b = -(-3 + (-7)) = -(-10) = 10$.

Это все возможные целые значения $b$, при которых уравнение имеет целые корни.

Ответ: $b \in \{-22, -10, 10, 22\}$.