Номер 931, страница 227 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 931, страница 227.

Условие.

931. Решите уравнение:

1) $ \frac{x-1}{x+5} + \frac{x+5}{x-1} = \frac{10}{3}; $

2) $ \frac{x^2 - 3x + 6}{x} + \frac{2x}{x^2 - 3x + 6} = 3; $

3) $ \frac{x^2}{(3x-1)^2} - \frac{4x}{3x-1} - 5 = 0; $

4) $ \frac{24}{x^2+2x-8} - \frac{15}{x^2+2x-3} = 2. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\frac{x-1}{x+5} + \frac{x+5}{x-1} = \frac{10}{3}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $x+5 \neq 0$ и $x-1 \neq 0$, то есть $x \neq -5$ и $x \neq 1$.
Сделаем замену переменной. Пусть $y = \frac{x-1}{x+5}$. Тогда $\frac{x+5}{x-1} = \frac{1}{y}$.
Уравнение принимает вид:
$y + \frac{1}{y} = \frac{10}{3}$
Умножим обе части на $3y$ (при $y \neq 0$):
$3y^2 + 3 = 10y$
$3y^2 - 10y + 3 = 0$
Это квадратное уравнение относительно $y$. Найдем его корни.
Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 3 = 100 - 36 = 64$.
$y_1 = \frac{10 - \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 - 8}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$
$y_2 = \frac{10 + \sqrt{64}}{2 \cdot 3} = \frac{10 + 8}{6} = \frac{18}{6} = 3$
Теперь вернемся к исходной переменной $x$.
Случай 1: $y = \frac{1}{3}$
$\frac{x-1}{x+5} = \frac{1}{3}$
$3(x-1) = 1(x+5)$
$3x - 3 = x + 5$
$2x = 8$
$x_1 = 4$
Корень $x=4$ удовлетворяет ОДЗ.
Случай 2: $y = 3$
$\frac{x-1}{x+5} = 3$
$x-1 = 3(x+5)$
$x-1 = 3x + 15$
$-16 = 2x$
$x_2 = -8$
Корень $x=-8$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x=4, x=-8$.

2) $\frac{x^2 - 3x + 6}{x} + \frac{2x}{x^2 - 3x + 6} = 3$

ОДЗ: $x \neq 0$. Знаменатель $x^2 - 3x + 6$ не равен нулю, так как его дискриминант $D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 9 - 24 = -15 < 0$, и ветви параболы направлены вверх.
Сделаем замену. Пусть $y = \frac{x^2 - 3x + 6}{x}$. Тогда $\frac{x}{x^2 - 3x + 6} = \frac{1}{y}$, и $\frac{2x}{x^2 - 3x + 6} = \frac{2}{y}$.
Уравнение принимает вид:
$y + \frac{2}{y} = 3$
Умножим обе части на $y$ (при $y \neq 0$):
$y^2 + 2 = 3y$
$y^2 - 3y + 2 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения $y_1=1, y_2=2$.
Вернемся к переменной $x$.
Случай 1: $y = 1$
$\frac{x^2 - 3x + 6}{x} = 1$
$x^2 - 3x + 6 = x$
$x^2 - 4x + 6 = 0$
Дискриминант $D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 - 24 = -8 < 0$. Действительных корней нет.
Случай 2: $y = 2$
$\frac{x^2 - 3x + 6}{x} = 2$
$x^2 - 3x + 6 = 2x$
$x^2 - 5x + 6 = 0$
По теореме Виета, корни $x_1=2, x_2=3$.
Оба корня удовлетворяют ОДЗ ($x \neq 0$).

Ответ: $x=2, x=3$.

3) $\frac{x^2}{(3x-1)^2} - \frac{4x}{3x-1} - 5 = 0$

ОДЗ: $3x-1 \neq 0$, то есть $x \neq \frac{1}{3}$.
Уравнение можно переписать в виде: $(\frac{x}{3x-1})^2 - 4(\frac{x}{3x-1}) - 5 = 0$.
Сделаем замену. Пусть $y = \frac{x}{3x-1}$.
$y^2 - 4y - 5 = 0$
По теореме Виета, корни уравнения $y_1 = 5, y_2 = -1$.
Вернемся к переменной $x$.
Случай 1: $y = 5$
$\frac{x}{3x-1} = 5$
$x = 5(3x-1)$
$x = 15x - 5$
$14x = 5$
$x_1 = \frac{5}{14}$
Корень удовлетворяет ОДЗ.
Случай 2: $y = -1$
$\frac{x}{3x-1} = -1$
$x = -(3x-1)$
$x = -3x + 1$
$4x = 1$
$x_2 = \frac{1}{4}$
Корень удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $x=\frac{5}{14}, x=\frac{1}{4}$.

4) $\frac{24}{x^2 + 2x - 8} - \frac{15}{x^2 + 2x - 3} = 2$

Заметим, что в обоих знаменателях есть выражение $x^2 + 2x$. Сделаем замену. Пусть $y = x^2 + 2x$.
Уравнение примет вид:
$\frac{24}{y - 8} - \frac{15}{y - 3} = 2$
ОДЗ для $y$: $y \neq 8, y \neq 3$.
Приведем левую часть к общему знаменателю:
$\frac{24(y-3) - 15(y-8)}{(y-8)(y-3)} = 2$
$\frac{24y - 72 - 15y + 120}{(y-8)(y-3)} = 2$
$\frac{9y + 48}{y^2 - 11y + 24} = 2$
$9y + 48 = 2(y^2 - 11y + 24)$
$9y + 48 = 2y^2 - 22y + 48$
$0 = 2y^2 - 31y$
$y(2y - 31) = 0$
Отсюда $y_1 = 0$ или $y_2 = \frac{31}{2}$. Оба значения удовлетворяют ОДЗ для $y$.
Вернемся к переменной $x$.
Случай 1: $y = 0$
$x^2 + 2x = 0$
$x(x+2) = 0$
$x_1 = 0, x_2 = -2$
Случай 2: $y = \frac{31}{2}$
$x^2 + 2x = \frac{31}{2}$
$2x^2 + 4x - 31 = 0$
Найдем корни через дискриминант: $D = 4^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-31) = 16 + 248 = 264$.
$\sqrt{D} = \sqrt{264} = \sqrt{4 \cdot 66} = 2\sqrt{66}$.
$x = \frac{-4 \pm 2\sqrt{66}}{4} = \frac{-2 \pm \sqrt{66}}{2}$.
$x_3 = \frac{-2 + \sqrt{66}}{2}, x_4 = \frac{-2 - \sqrt{66}}{2}$.
Проверим все корни по исходному ОДЗ: $x^2 + 2x - 8 \neq 0 \implies (x+4)(x-2) \neq 0 \implies x \neq -4, x \neq 2$.
$x^2 + 2x - 3 \neq 0 \implies (x+3)(x-1) \neq 0 \implies x \neq -3, x \neq 1$.
Все четыре найденных корня ($0, -2, \frac{-2 + \sqrt{66}}{2}, \frac{-2 - \sqrt{66}}{2}$) удовлетворяют этим условиям.

Ответ: $x=0, x=-2, x=\frac{-2 + \sqrt{66}}{2}, x=\frac{-2 - \sqrt{66}}{2}$.