Номер 936, страница 227 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 936, страница 227.

Условие.

936. При каком значении $a$ произведение корней уравнения $x^2 + (a+9)x + a^2 + 2a = 0$ равно 15?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Виета для приведенного квадратного уравнения. Для уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ произведение его корней $x_1$ и $x_2$ равно свободному члену $q$, то есть $x_1 \cdot x_2 = q$.

Исходное уравнение $x^2 + (a + 9)x + a^2 + 2a = 0$ является приведенным, так как коэффициент при $x^2$ равен 1. Свободный член в этом уравнении равен $a^2 + 2a$.

По условию задачи, произведение корней должно быть равно 15. Применяя теорему Виета, получаем:

$x_1 \cdot x_2 = a^2 + 2a = 15$

Мы получили квадратное уравнение относительно параметра $a$:

$a^2 + 2a - 15 = 0$

Решим это уравнение. Можно найти его корни, например, с помощью дискриминанта:

$D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 = 8^2$

Корни уравнения для $a$:

$a_1 = \frac{-2 + 8}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$a_2 = \frac{-2 - 8}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Теперь необходимо выполнить проверку. Теорема Виета применима, если у квадратного уравнения существуют корни. В стандартном курсе алгебры подразумевается, что корни должны быть действительными. Условием существования действительных корней является неотрицательность дискриминанта ($D \geq 0$) исходного уравнения.

Найдем дискриминант исходного уравнения $x^2 + (a + 9)x + a^2 + 2a = 0$:

$D_x = (a + 9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (a^2 + 2a) = (a^2 + 18a + 81) - (4a^2 + 8a) = -3a^2 + 10a + 81$

Проверим знак $D_x$ для каждого найденного значения $a$:

1. При $a = 3$:

$D_x = -3(3)^2 + 10(3) + 81 = -3 \cdot 9 + 30 + 81 = -27 + 30 + 81 = 84$

Так как $D_x = 84 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня. Следовательно, значение $a = 3$ подходит.

2. При $a = -5$:

$D_x = -3(-5)^2 + 10(-5) + 81 = -3 \cdot 25 - 50 + 81 = -75 - 50 + 81 = -44$

Так как $D_x = -44 < 0$, уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, значение $a = -5$ не подходит.

Таким образом, единственное значение параметра $a$, которое удовлетворяет условию, это 3.

Ответ: 3