Номер 930, страница 227 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 930, страница 227.

Условие.

930. Решите уравнение:

1) $\frac{x^2 - 7x}{x+1} = \frac{8}{x+1};$

2) $\frac{3x^2 + 4x}{x^2 - 9} = \frac{3 - 4x}{x^2 - 9};$

3) $\frac{4 - x}{4x - 3} = \frac{2x - 2}{7 - x};$

4) $\frac{1}{x+1} - \frac{1}{x-6} = \frac{7}{12};$

5) $\frac{63}{x^2 + 3x} - \frac{2}{x^2 - 3x} = \frac{7}{x};$

6) $\frac{2x}{x-2} + \frac{3}{x+4} = \frac{4x - 2}{(x+4)(x-2)};$

7) $\frac{1}{x^2 + 2x} - \frac{2}{x^2 - 4} = \frac{x+4}{5x(2-x)};$

8) $\frac{2}{x^2 - 2x + 1} - \frac{1}{x^3 - 1} = \frac{3}{x^2 + x + 1}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 8.

1) Исходное уравнение: $ \frac{x^2 - 7x}{x + 1} = \frac{8}{x + 1} $.

Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $ x + 1 \neq 0 $, откуда $ x \neq -1 $.

Поскольку знаменатели дробей в обеих частях уравнения равны, мы можем приравнять их числители:

$ x^2 - 7x = 8 $

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение:

$ x^2 - 7x - 8 = 0 $

Решим это уравнение с помощью теоремы Виета. Сумма корней равна $ 7 $, а их произведение равно $ -8 $. Подбором находим корни:

$ x_1 = 8 $

$ x_2 = -1 $

Теперь проверим корни на соответствие ОДЗ. Корень $ x = -1 $ не входит в область допустимых значений, поэтому он является посторонним. Корень $ x = 8 $ удовлетворяет условию $ x \neq -1 $.

Ответ: 8.

2) Исходное уравнение: $ \frac{3x^2 + 4x}{x^2 - 9} = \frac{3 - 4x}{x^2 - 9} $.

ОДЗ: $ x^2 - 9 \neq 0 \implies (x-3)(x+3) \neq 0 $, откуда $ x \neq 3 $ и $ x \neq -3 $.

Приравниваем числители, так как знаменатели равны:

$ 3x^2 + 4x = 3 - 4x $

Приводим к стандартному виду квадратного уравнения:

$ 3x^2 + 8x - 3 = 0 $

Решаем через дискриминант $ D = b^2 - 4ac $:

$ D = 8^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-3) = 64 + 36 = 100 = 10^2 $

Находим корни:

$ x_{1,2} = \frac{-8 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{-8 \pm 10}{6} $

$ x_1 = \frac{-8 + 10}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3} $

$ x_2 = \frac{-8 - 10}{6} = \frac{-18}{6} = -3 $

Проверяем корни по ОДЗ. Корень $ x = -3 $ является посторонним. Корень $ x = \frac{1}{3} $ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: $ \frac{1}{3} $.

3) Исходное уравнение: $ \frac{4 - x}{4x - 3} = \frac{2x - 2}{7 - x} $.

ОДЗ: $ 4x - 3 \neq 0 \implies x \neq \frac{3}{4} $ и $ 7 - x \neq 0 \implies x \neq 7 $.

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение):

$ (4 - x)(7 - x) = (2x - 2)(4x - 3) $

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$ 28 - 4x - 7x + x^2 = 8x^2 - 6x - 8x + 6 $

$ x^2 - 11x + 28 = 8x^2 - 14x + 6 $

Перенесем все члены в правую часть:

$ 8x^2 - x^2 - 14x + 11x + 6 - 28 = 0 $

$ 7x^2 - 3x - 22 = 0 $

Решаем через дискриминант:

$ D = (-3)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-22) = 9 + 616 = 625 = 25^2 $

Находим корни:

$ x_{1,2} = \frac{3 \pm \sqrt{625}}{2 \cdot 7} = \frac{3 \pm 25}{14} $

$ x_1 = \frac{3 + 25}{14} = \frac{28}{14} = 2 $

$ x_2 = \frac{3 - 25}{14} = \frac{-22}{14} = -\frac{11}{7} $

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 2; $ -\frac{11}{7} $.

4) Исходное уравнение: $ \frac{1}{x + 1} - \frac{1}{x - 6} = \frac{7}{12} $.

ОДЗ: $ x + 1 \neq 0 \implies x \neq -1 $ и $ x - 6 \neq 0 \implies x \neq 6 $.

Приведем левую часть к общему знаменателю $ (x+1)(x-6) $:

$ \frac{(x - 6) - (x + 1)}{(x + 1)(x - 6)} = \frac{7}{12} $

$ \frac{x - 6 - x - 1}{x^2 - 6x + x - 6} = \frac{7}{12} $

$ \frac{-7}{x^2 - 5x - 6} = \frac{7}{12} $

Разделим обе части на 7:

$ \frac{-1}{x^2 - 5x - 6} = \frac{1}{12} $

По свойству пропорции:

$ x^2 - 5x - 6 = -12 $

$ x^2 - 5x + 6 = 0 $

По теореме Виета, сумма корней равна 5, произведение равно 6. Корни:

$ x_1 = 2 $, $ x_2 = 3 $

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 2; 3.

5) Исходное уравнение: $ \frac{63}{x^2 + 3x} - \frac{2}{x^2 - 3x} = \frac{7}{x} $.

Разложим знаменатели на множители: $ \frac{63}{x(x + 3)} - \frac{2}{x(x - 3)} = \frac{7}{x} $.

ОДЗ: $ x \neq 0 $, $ x + 3 \neq 0 \implies x \neq -3 $, $ x - 3 \neq 0 \implies x \neq 3 $.

Так как $ x \neq 0 $, умножим обе части уравнения на $ x $:

$ \frac{63}{x + 3} - \frac{2}{x - 3} = 7 $

Приведем левую часть к общему знаменателю $ (x+3)(x-3) = x^2 - 9 $:

$ \frac{63(x - 3) - 2(x + 3)}{x^2 - 9} = 7 $

$ \frac{63x - 189 - 2x - 6}{x^2 - 9} = 7 $

$ \frac{61x - 195}{x^2 - 9} = 7 $

$ 61x - 195 = 7(x^2 - 9) $

$ 61x - 195 = 7x^2 - 63 $

$ 7x^2 - 61x + 132 = 0 $

Решаем через дискриминант:

$ D = (-61)^2 - 4 \cdot 7 \cdot 132 = 3721 - 3696 = 25 = 5^2 $

$ x_{1,2} = \frac{61 \pm 5}{14} $

$ x_1 = \frac{61 + 5}{14} = \frac{66}{14} = \frac{33}{7} $

$ x_2 = \frac{61 - 5}{14} = \frac{56}{14} = 4 $

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 4; $ \frac{33}{7} $.

6) Исходное уравнение: $ \frac{2x}{x - 2} + \frac{3}{x + 4} = \frac{4x - 2}{(x + 4)(x - 2)} $.

ОДЗ: $ x - 2 \neq 0 \implies x \neq 2 $ и $ x + 4 \neq 0 \implies x \neq -4 $.

Общий знаменатель $ (x - 2)(x + 4) $. Умножим обе части уравнения на него:

$ 2x(x + 4) + 3(x - 2) = 4x - 2 $

$ 2x^2 + 8x + 3x - 6 = 4x - 2 $

$ 2x^2 + 11x - 6 = 4x - 2 $

$ 2x^2 + 7x - 4 = 0 $

Решаем через дискриминант:

$ D = 7^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-4) = 49 + 32 = 81 = 9^2 $

$ x_{1,2} = \frac{-7 \pm 9}{4} $

$ x_1 = \frac{-7 + 9}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} $

$ x_2 = \frac{-7 - 9}{4} = \frac{-16}{4} = -4 $

Проверяем по ОДЗ: корень $ x = -4 $ является посторонним.

Ответ: $ \frac{1}{2} $.

7) Исходное уравнение: $ \frac{1}{x^2 + 2x} - \frac{2}{x^2 - 4} = \frac{x + 4}{5x(2 - x)} $.

Разложим знаменатели на множители и преобразуем правую часть: $ \frac{1}{x(x + 2)} - \frac{2}{(x - 2)(x + 2)} = \frac{x + 4}{-5x(x - 2)} $.

ОДЗ: $ x \neq 0 $, $ x \neq -2 $, $ x \neq 2 $.

Общий знаменатель $ 5x(x - 2)(x + 2) $. Умножим на него обе части уравнения:

$ 1 \cdot 5(x - 2) - 2 \cdot 5x = -(x + 4)(x + 2) $

$ 5x - 10 - 10x = -(x^2 + 2x + 4x + 8) $

$ -5x - 10 = -(x^2 + 6x + 8) $

$ -5x - 10 = -x^2 - 6x - 8 $

$ x^2 - 5x + 6x - 10 + 8 = 0 $

$ x^2 + x - 2 = 0 $

По теореме Виета, сумма корней равна -1, произведение равно -2. Корни:

$ x_1 = 1 $, $ x_2 = -2 $

Проверяем по ОДЗ: корень $ x = -2 $ является посторонним.

Ответ: 1.

8) Исходное уравнение: $ \frac{2}{x^2 - 2x + 1} - \frac{1}{x^3 - 1} = \frac{3}{x^2 + x + 1} $.

Разложим знаменатели на множители, используя формулы сокращенного умножения (квадрат разности и разность кубов):

$ x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2 $

$ x^3 - 1 = (x - 1)(x^2 + x + 1) $

Уравнение принимает вид: $ \frac{2}{(x - 1)^2} - \frac{1}{(x - 1)(x^2 + x + 1)} = \frac{3}{x^2 + x + 1} $.

ОДЗ: $ x-1 \neq 0 \implies x \neq 1 $. (Выражение $ x^2 + x + 1 $ всегда положительно).

Общий знаменатель $ (x-1)^2(x^2+x+1) $. Умножим на него обе части:

$ 2(x^2 + x + 1) - 1(x - 1) = 3(x-1)^2 $

$ 2x^2 + 2x + 2 - x + 1 = 3(x^2 - 2x + 1) $

$ 2x^2 + x + 3 = 3x^2 - 6x + 3 $

Перенесем все в правую часть:

$ 3x^2 - 2x^2 - 6x - x + 3 - 3 = 0 $

$ x^2 - 7x = 0 $

Вынесем $ x $ за скобки:

$ x(x - 7) = 0 $

Корни: $ x_1 = 0 $ и $ x_2 = 7 $.

Оба корня удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: 0; 7.