Номер 922, страница 226 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 922, страница 226.

Условие.

922. Решите уравнение:

1) $x^2 - 6x + \frac{2}{x-2} = \frac{2}{x-2} - 8;$

2) $(\sqrt{x} - 5)(15x^2 - 7x - 2) = 0;$

3) $(x^2 + 6x)(\sqrt{x} - 4)(x^2 - 8x - 48) = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $x^2 - 6x + \frac{2}{x-2} = \frac{2}{x-2} - 8$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x - 2 \neq 0$, следовательно, $x \neq 2$.

Перенесем все члены уравнения в левую часть:
$x^2 - 6x + \frac{2}{x-2} - \frac{2}{x-2} + 8 = 0$

Дробные члены взаимно уничтожаются:
$x^2 - 6x + 8 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его с помощью теоремы Виета. Нам нужны два числа, произведение которых равно 8, а сумма равна 6. Эти числа — 2 и 4.
$x_1 = 2$, $x_2 = 4$.

Теперь проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 2$).
Корень $x_1 = 2$ не удовлетворяет ОДЗ, поэтому он является посторонним.
Корень $x_2 = 4$ удовлетворяет ОДЗ.

Ответ: 4.

2) $(\sqrt{x} - 5)(15x^2 - 7x - 2) = 0$

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
1) $\sqrt{x} - 5 = 0$
$\sqrt{x} = 5$
$x_1 = 25$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($25 \ge 0$).

2) $15x^2 - 7x - 2 = 0$
Решим это квадратное уравнение через дискриминант.
$D = b^2 - 4ac = (-7)^2 - 4 \cdot 15 \cdot (-2) = 49 + 120 = 169 = 13^2$.
$x_{2,3} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{7 \pm 13}{2 \cdot 15} = \frac{7 \pm 13}{30}$.
$x_2 = \frac{7 + 13}{30} = \frac{20}{30} = \frac{2}{3}$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($\frac{2}{3} \ge 0$).
$x_3 = \frac{7 - 13}{30} = \frac{-6}{30} = -\frac{1}{5}$. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ ($-\frac{1}{5} < 0$), поэтому он является посторонним.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $\frac{2}{3}$; 25.

3) $(x^2 + 6x)(\sqrt{x-4})(x^2 - 8x - 48) = 0$

Найдем ОДЗ. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x - 4 \ge 0$, следовательно, $x \ge 4$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю, при условии соблюдения ОДЗ.
1) $x^2 + 6x = 0$
$x(x + 6) = 0$
$x_1 = 0$, $x_2 = -6$. Оба корня не удовлетворяют ОДЗ ($x \ge 4$).

2) $\sqrt{x-4} = 0$
$x - 4 = 0$
$x_3 = 4$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($4 \ge 4$).

3) $x^2 - 8x - 48 = 0$
Решим это квадратное уравнение с помощью теоремы Виета. Произведение корней равно -48, а сумма равна 8. Эти числа — 12 и -4.
$x_4 = 12$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ ($12 \ge 4$).
$x_5 = -4$. Этот корень не удовлетворяет ОДЗ ($-4 < 4$).

Объединяем все подходящие корни.

Ответ: 4; 12.