Номер 919, страница 226 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 919, страница 226.

Условие.

919. Решите уравнение:

1) $(x - 4)(x + 2) - 2(3x + 1)(x - 3) = x(x + 27);$

2) $(4x - 3)^2 + (3x - 1)(3x + 1) = 9;$

3) $(x + 4)(x^2 + x - 13) - (x + 7)(x^2 + 2x - 5) = x + 1;$

4) $\frac{2(x^2 - 9)}{5} - \frac{x + 1}{2} = \frac{x - 41}{4};$

5) $\frac{x^2 + 5x}{3} - \frac{x + 3}{2} = \frac{2x^2 - 2}{8}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $(x - 4)(x + 2) - 2(3x + 1)(x - 3) = x(x + 27)$

Раскроем скобки в каждой части уравнения:

$(x^2 + 2x - 4x - 8) - 2(3x^2 - 9x + x - 3) = x^2 + 27x$

$(x^2 - 2x - 8) - 2(3x^2 - 8x - 3) = x^2 + 27x$

$x^2 - 2x - 8 - 6x^2 + 16x + 6 = x^2 + 27x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-5x^2 + 14x - 2 = x^2 + 27x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

$-5x^2 - x^2 + 14x - 27x - 2 = 0$

$-6x^2 - 13x - 2 = 0$

Умножим обе части на -1:

$6x^2 + 13x + 2 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 13^2 - 4 \cdot 6 \cdot 2 = 169 - 48 = 121 = 11^2$

Найдем корни по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-13 - 11}{2 \cdot 6} = \frac{-24}{12} = -2$

$x_2 = \frac{-13 + 11}{2 \cdot 6} = \frac{-2}{12} = -\frac{1}{6}$

Ответ: $x_1 = -2; x_2 = -\frac{1}{6}.$

2) $(4x - 3)^2 + (3x - 1)(3x + 1) = 9$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения (квадрат разности и разность квадратов):

$(16x^2 - 24x + 9) + (9x^2 - 1) = 9$

Приведем подобные слагаемые:

$25x^2 - 24x + 8 = 9$

Перенесем 9 в левую часть:

$25x^2 - 24x + 8 - 9 = 0$

$25x^2 - 24x - 1 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = (-24)^2 - 4 \cdot 25 \cdot (-1) = 576 + 100 = 676 = 26^2$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{24 - 26}{2 \cdot 25} = \frac{-2}{50} = -\frac{1}{25}$

$x_2 = \frac{24 + 26}{2 \cdot 25} = \frac{50}{50} = 1$

Ответ: $x_1 = 1; x_2 = -0.04.$

3) $(x + 4)(x^2 + x - 13) - (x + 7)(x^2 + 2x - 5) = x + 1$

Раскроем скобки, перемножая многочлены:

$(x^3 + x^2 - 13x + 4x^2 + 4x - 52) - (x^3 + 2x^2 - 5x + 7x^2 + 14x - 35) = x + 1$

Приведем подобные слагаемые внутри скобок:

$(x^3 + 5x^2 - 9x - 52) - (x^3 + 9x^2 + 9x - 35) = x + 1$

Раскроем вторые скобки, меняя знаки:

$x^3 + 5x^2 - 9x - 52 - x^3 - 9x^2 - 9x + 35 = x + 1$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$-4x^2 - 18x - 17 = x + 1$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$-4x^2 - 18x - x - 17 - 1 = 0$

$-4x^2 - 19x - 18 = 0$

Умножим на -1:

$4x^2 + 19x + 18 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант:

$D = 19^2 - 4 \cdot 4 \cdot 18 = 361 - 288 = 73$

Так как $D > 0$, но не является полным квадратом, корни будут иррациональными:

$x = \frac{-19 \pm \sqrt{73}}{8}$

Ответ: $x = \frac{-19 \pm \sqrt{73}}{8}.$

4) $\frac{2(x^2 - 9)}{5} - \frac{x + 1}{2} = \frac{x - 41}{4}$

Найдем наименьшее общее кратное знаменателей 5, 2 и 4. НОК(5, 2, 4) = 20.

Умножим обе части уравнения на 20, чтобы избавиться от дробей:

$20 \cdot \frac{2(x^2 - 9)}{5} - 20 \cdot \frac{x + 1}{2} = 20 \cdot \frac{x - 41}{4}$

$4 \cdot 2(x^2 - 9) - 10(x + 1) = 5(x - 41)$

Раскроем скобки:

$8(x^2 - 9) - 10(x + 1) = 5(x - 41)$

$8x^2 - 72 - 10x - 10 = 5x - 205$

Приведем подобные слагаемые:

$8x^2 - 10x - 82 = 5x - 205$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$8x^2 - 10x - 5x - 82 + 205 = 0$

$8x^2 - 15x + 123 = 0$

Найдем дискриминант:

$D = (-15)^2 - 4 \cdot 8 \cdot 123 = 225 - 3936 = -3711$

Так как дискриминант отрицательный ($D < 0$), уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

5) $\frac{x^2 + 5x}{3} - \frac{x + 3}{2} = \frac{2x^2 - 2}{8}$

Сначала упростим дробь в правой части: $\frac{2x^2 - 2}{8} = \frac{2(x^2 - 1)}{8} = \frac{x^2 - 1}{4}$.

Получим уравнение: $\frac{x^2 + 5x}{3} - \frac{x + 3}{2} = \frac{x^2 - 1}{4}$

Найдем наименьшее общее кратное знаменателей 3, 2 и 4. НОК(3, 2, 4) = 12.

Умножим обе части уравнения на 12:

$12 \cdot \frac{x^2 + 5x}{3} - 12 \cdot \frac{x + 3}{2} = 12 \cdot \frac{x^2 - 1}{4}$

$4(x^2 + 5x) - 6(x + 3) = 3(x^2 - 1)$

Раскроем скобки:

$4x^2 + 20x - 6x - 18 = 3x^2 - 3$

Приведем подобные слагаемые:

$4x^2 + 14x - 18 = 3x^2 - 3$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$4x^2 - 3x^2 + 14x - 18 + 3 = 0$

$x^2 + 14x - 15 = 0$

Решим квадратное уравнение. Можно использовать теорему Виета. Сумма корней равна -14, произведение равно -15. Это числа -15 и 1.

Или через дискриминант:

$D = 14^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 196 + 60 = 256 = 16^2$

$x_1 = \frac{-14 - 16}{2} = \frac{-30}{2} = -15$

$x_2 = \frac{-14 + 16}{2} = \frac{2}{2} = 1$

Ответ: $x_1 = -15; x_2 = 1.$