Страница 219 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

868. Докажите, что при всех допустимых значениях $a$ значение выражения

$(\frac{1}{(a-3)^2} - \frac{6}{9-a^2} + \frac{9}{(a+3)^2}) : \frac{4(2a-3)^2}{(a^2-9)(a^2-27)} - \frac{2a^2}{9-a^2}$

не зависит от значения $a$.

Для того чтобы доказать, что значение выражения не зависит от значения $a$, необходимо упростить это выражение. Выполним действия по порядку, предварительно определив область допустимых значений (ОДЗ).

Знаменатели дробей не должны быть равны нулю, а также выражение, на которое производится деление, не должно быть равно нулю.

• $ (a-3)^2 \neq 0 \implies a \neq 3 $
• $ 9-a^2 \neq 0 \implies a^2 \neq 9 \implies a \neq \pm 3 $
• $ (a+3)^2 \neq 0 \implies a \neq -3 $
• $ (a^2-9)(a^2-27) \neq 0 \implies a^2 \neq 9 $ и $ a^2 \neq 27 $, откуда $ a \neq \pm 3 $ и $ a \neq \pm \sqrt{27} = \pm 3\sqrt{3} $
• $ 4(2a-3)^2 \neq 0 $ (числитель делителя) $ \implies 2a-3 \neq 0 \implies a \neq \frac{3}{2} $

Таким образом, ОДЗ: $ a $ — любое действительное число, кроме $ \pm 3, \pm 3\sqrt{3}, \frac{3}{2} $.

1. Упрощение выражения в скобках

$ \left( \frac{1}{(a-3)^2} - \frac{6}{9-a^2} + \frac{9}{(a+3)^2} \right) $

Преобразуем второй член, изменив знак в знаменателе: $ 9-a^2 = -(a^2-9) $.

$ \left( \frac{1}{(a-3)^2} + \frac{6}{a^2-9} + \frac{9}{(a+3)^2} \right) $

Заметим, что полученное выражение имеет вид формулы полного квадрата $ A^2+2AB+B^2=(A+B)^2 $, где:

$ A^2 = \frac{1}{(a-3)^2} \implies A = \frac{1}{a-3} $

$ B^2 = \frac{9}{(a+3)^2} \implies B = \frac{3}{a+3} $

Проверим, совпадает ли средний член с $ 2AB $:

$ 2AB = 2 \cdot \frac{1}{a-3} \cdot \frac{3}{a+3} = \frac{6}{(a-3)(a+3)} = \frac{6}{a^2-9} $

Средний член совпадает, следовательно, выражение в скобках можно свернуть по формуле квадрата суммы:

$ \left( \frac{1}{a-3} + \frac{3}{a+3} \right)^2 $

Теперь упростим выражение внутри скобок, приведя его к общему знаменателю $ (a-3)(a+3) = a^2-9 $:

$ \frac{1(a+3) + 3(a-3)}{(a-3)(a+3)} = \frac{a+3+3a-9}{a^2-9} = \frac{4a-6}{a^2-9} = \frac{2(2a-3)}{a^2-9} $

Возведем полученную дробь в квадрат:

$ \left( \frac{2(2a-3)}{a^2-9} \right)^2 = \frac{4(2a-3)^2}{(a^2-9)^2} $

2. Выполнение деления

Теперь выполним деление результата первого действия на вторую дробь из условия:

$ \frac{4(2a-3)^2}{(a^2-9)^2} : \frac{4(2a-3)^2}{(a^2-9)(a^2-27)} $

Заменим деление умножением на обратную дробь:

$ \frac{4(2a-3)^2}{(a^2-9)^2} \cdot \frac{(a^2-9)(a^2-27)}{4(2a-3)^2} $

Сократим одинаковые множители. Это возможно, так как в ОДЗ $ a^2-9 \neq 0 $ и $ 4(2a-3)^2 \neq 0 $:

$ \frac{\cancel{4(2a-3)^2}}{(a^2-9)^{\cancel{2}}} \cdot \frac{\cancel{(a^2-9)}(a^2-27)}{\cancel{4(2a-3)^2}} = \frac{a^2-27}{a^2-9} $

3. Выполнение вычитания

Подставим полученный результат в исходное выражение и выполним последнее действие:

$ \frac{a^2-27}{a^2-9} - \frac{2a^2}{9-a^2} $

Изменим знак в знаменателе второй дроби, чтобы привести дроби к общему знаменателю:

$ \frac{a^2-27}{a^2-9} - \frac{2a^2}{-(a^2-9)} = \frac{a^2-27}{a^2-9} + \frac{2a^2}{a^2-9} $

Сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$ \frac{a^2-27+2a^2}{a^2-9} = \frac{3a^2-27}{a^2-9} $

Вынесем в числителе общий множитель 3 за скобки:

$ \frac{3(a^2-9)}{a^2-9} $

Поскольку $ a^2-9 \neq 0 $ для всех допустимых значений $ a $, сократим дробь:

$ \frac{3\cancel{(a^2-9)}}{\cancel{a^2-9}} = 3 $

В результате всех преобразований мы получили число 3. Так как это значение является константой, оно не зависит от переменной $ a $.

Ответ: В результате упрощения исходное выражение равно 3. Так как полученное значение является постоянным числом, оно не зависит от $a$ при всех допустимых значениях, что и требовалось доказать.

869. Упростите выражение:

1) $ \frac{a + \frac{25}{a + 10}}{\frac{25}{a} - a} $;

2) $ 1 - \frac{1}{1 - \frac{a}{1 - \frac{1}{a+1}}} $.

1)

Для упрощения данного выражения, необходимо последовательно упростить числитель и знаменатель основной дроби.

Шаг 1: Упрощение числителя $a + \frac{25}{a+10}$.

Приведем слагаемые к общему знаменателю $(a+10)$: $a + \frac{25}{a+10} = \frac{a(a+10)}{a+10} + \frac{25}{a+10} = \frac{a^2+10a+25}{a+10}$.

Выражение в числителе $a^2+10a+25$ является полным квадратом суммы $(a+5)^2$. Таким образом, числитель упрощается до $\frac{(a+5)^2}{a+10}$.

Шаг 2: Упрощение знаменателя $\frac{25}{a} - a$.

Приведем слагаемые к общему знаменателю $a$: $\frac{25}{a} - a = \frac{25}{a} - \frac{a^2}{a} = \frac{25-a^2}{a}$.

Выражение в числителе $25-a^2$ является разностью квадратов $5^2-a^2 = (5-a)(5+a)$. Таким образом, знаменатель упрощается до $\frac{(5-a)(5+a)}{a}$.

Шаг 3: Деление упрощенного числителя на упрощенный знаменатель.

Исходное выражение теперь имеет вид: $\frac{\frac{(a+5)^2}{a+10}}{\frac{(5-a)(5+a)}{a}}$.

Для деления дробей, умножим числитель на дробь, обратную знаменателю: $\frac{(a+5)^2}{a+10} \cdot \frac{a}{(5-a)(5+a)}$.

Сократим общий множитель $(a+5)$, так как $(a+5)^2=(a+5)(a+5)$ и $(5+a)=(a+5)$: $\frac{(a+5)(a+5)}{a+10} \cdot \frac{a}{(5-a)(a+5)} = \frac{a(a+5)}{(a+10)(5-a)}$.

Ответ: $\frac{a(a+5)}{(5-a)(a+10)}$

2)

Для упрощения данного выражения будем двигаться пошагово изнутри наружу.

Шаг 1: Упростим самое внутреннее выражение $1 - \frac{1}{a+1}$.

Приведем к общему знаменателю $(a+1)$: $1 - \frac{1}{a+1} = \frac{a+1}{a+1} - \frac{1}{a+1} = \frac{a+1-1}{a+1} = \frac{a}{a+1}$.

Шаг 2: Подставим полученный результат в следующую часть дроби.

Выражение $1 - \frac{a}{1 - \frac{1}{a+1}}$ превращается в $1 - \frac{a}{\frac{a}{a+1}}$.

Упростим дробь $\frac{a}{\frac{a}{a+1}} = a \div \frac{a}{a+1} = a \cdot \frac{a+1}{a} = a+1$.

Шаг 3: Теперь все выражение имеет вид $1 - \frac{1}{1-(a+1)}$.

Упростим знаменатель: $1 - (a+1) = 1 - a - 1 = -a$.

Шаг 4: Подставим упрощенный знаменатель обратно.

Выражение становится $1 - \frac{1}{-a} = 1 + \frac{1}{a}$.

Шаг 5: Приведем к общему знаменателю $a$.

$1 + \frac{1}{a} = \frac{a}{a} + \frac{1}{a} = \frac{a+1}{a}$.

Ответ: $\frac{a+1}{a}$

870. Решите уравнение:

1) $\frac{2x+6}{x+3}=2;$

2) $\frac{x^2-16}{x+4}=-8;$

3) $\frac{2x-9}{2x+5}+\frac{3x}{3x-2}=2;$

4) $\frac{5x^2+8}{x^2-16}=\frac{2x-1}{x+4}-\frac{3x-1}{4-x}.$

1) Решим уравнение $\frac{2x+6}{x+3} = 2$.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ) для переменной $x$. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x+3 \neq 0$, откуда $x \neq -3$.

Теперь преобразуем числитель дроби, вынеся общий множитель 2 за скобки:

$2x+6 = 2(x+3)$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$\frac{2(x+3)}{x+3} = 2$.

Поскольку мы работаем в области допустимых значений, где $x \neq -3$, мы можем сократить дробь на $(x+3)$:

$2 = 2$.

Мы получили верное числовое равенство, которое не зависит от $x$. Это означает, что исходное уравнение справедливо для любого значения $x$ из области допустимых значений.

Ответ: $x$ - любое число, кроме $-3$.

2) Решим уравнение $\frac{x^2-16}{x+4} = -8$.

ОДЗ: знаменатель не равен нулю, $x+4 \neq 0$, следовательно, $x \neq -4$.

Разложим числитель на множители, используя формулу разности квадратов $a^2-b^2 = (a-b)(a+b)$:

$x^2-16 = x^2 - 4^2 = (x-4)(x+4)$.

Подставим разложенный числитель в уравнение:

$\frac{(x-4)(x+4)}{x+4} = -8$.

При условии, что $x \neq -4$, мы можем сократить дробь на $(x+4)$:

$x-4 = -8$.

Решим полученное линейное уравнение:

$x = -8 + 4$

$x = -4$.

Теперь необходимо проверить, принадлежит ли найденный корень области допустимых значений. Условие ОДЗ: $x \neq -4$. Найденный корень $x = -4$ не удовлетворяет этому условию. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.

3) Решим уравнение $\frac{2x-9}{2x+5} + \frac{3x}{3x-2} = 2$.

ОДЗ: знаменатели не должны быть равны нулю.

$2x+5 \neq 0 \Rightarrow 2x \neq -5 \Rightarrow x \neq -2.5$.

$3x-2 \neq 0 \Rightarrow 3x \neq 2 \Rightarrow x \neq \frac{2}{3}$.

Перенесем 2 в левую часть уравнения и приведем все слагаемые к общему знаменателю $(2x+5)(3x-2)$:

$\frac{(2x-9)(3x-2) + 3x(2x+5) - 2(2x+5)(3x-2)}{(2x+5)(3x-2)} = 0$.

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Приравняем числитель к нулю:

$(2x-9)(3x-2) + 3x(2x+5) - 2(2x+5)(3x-2) = 0$.

Раскроем скобки:

$(6x^2 - 4x - 27x + 18) + (6x^2 + 15x) - 2(6x^2 - 4x + 15x - 10) = 0$.

$(6x^2 - 31x + 18) + (6x^2 + 15x) - 2(6x^2 + 11x - 10) = 0$.

$12x^2 - 16x + 18 - 12x^2 - 22x + 20 = 0$.

Приведем подобные слагаемые:

$(12x^2 - 12x^2) + (-16x - 22x) + (18 + 20) = 0$.

$-38x + 38 = 0$.

$-38x = -38$.

$x = 1$.

Проверим, удовлетворяет ли корень ОДЗ. $1 \neq -2.5$ и $1 \neq \frac{2}{3}$. Корень $x=1$ принадлежит ОДЗ.

Ответ: $1$.

4) Решим уравнение $\frac{5x^2+8}{x^2-16} = \frac{2x-1}{x+4} - \frac{3x-1}{4-x}$.

ОДЗ: $x^2-16 \neq 0 \Rightarrow (x-4)(x+4) \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$ и $x \neq -4$. Также $4-x \neq 0 \Rightarrow x \neq 4$. Итак, ОДЗ: $x \neq \pm 4$.

Преобразуем последнюю дробь: $\frac{3x-1}{4-x} = \frac{3x-1}{-(x-4)} = -\frac{3x-1}{x-4}$.

Уравнение примет вид:

$\frac{5x^2+8}{x^2-16} = \frac{2x-1}{x+4} - (-\frac{3x-1}{x-4})$.

$\frac{5x^2+8}{(x-4)(x+4)} = \frac{2x-1}{x+4} + \frac{3x-1}{x-4}$.

Приведем дроби в правой части к общему знаменателю $(x-4)(x+4)$:

$\frac{5x^2+8}{(x-4)(x+4)} = \frac{(2x-1)(x-4)}{(x+4)(x-4)} + \frac{(3x-1)(x+4)}{(x-4)(x+4)}$.

Так как знаменатели равны и не равны нулю (в силу ОДЗ), мы можем приравнять числители:

$5x^2+8 = (2x-1)(x-4) + (3x-1)(x+4)$.

Раскроем скобки в правой части:

$5x^2+8 = (2x^2 - 8x - x + 4) + (3x^2 + 12x - x - 4)$.

$5x^2+8 = (2x^2 - 9x + 4) + (3x^2 + 11x - 4)$.

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$5x^2+8 = (2x^2+3x^2) + (-9x+11x) + (4-4)$.

$5x^2+8 = 5x^2 + 2x$.

Вычтем $5x^2$ из обеих частей уравнения:

$8 = 2x$.

$x = 4$.

Проверим найденный корень. Согласно ОДЗ, $x \neq 4$. Полученное значение $x=4$ не входит в область допустимых значений. Следовательно, уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.

871. Для каждого значения a решите уравнение:

1) $ \frac{x+2}{x+a}=0; $

2) $ \frac{x-a}{x-1}=0. $

1)

Данное уравнение $\frac{x+2}{x+a}=0$ является дробно-рациональным. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю.

Таким образом, уравнение равносильно системе:

$\begin{cases} x+2=0 \\ x+a \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения системы находим корень числителя:

$x+2=0 \implies x=-2$

Теперь необходимо проверить, при каких значениях параметра $a$ знаменатель не обращается в ноль при $x=-2$. Подставим найденное значение $x$ во второе условие системы:

$-2+a \neq 0 \implies a \neq 2$

Рассмотрим два возможных случая для параметра $a$:

1. Если $a \neq 2$, то условие $x+a \neq 0$ выполняется, и уравнение имеет единственный корень $x=-2$.

2. Если $a=2$, то при $x=-2$ знаменатель $x+a$ обращается в ноль (так как $-2+2=0$). В этом случае корень числителя совпадает с недопустимым значением переменной, поэтому уравнение не имеет решений. Исходное уравнение принимает вид $\frac{x+2}{x+2}=0$, что равносильно $1=0$ (при условии $x \neq -2$). Это равенство неверно, следовательно, корней нет.

Ответ: если $a=2$, то корней нет; если $a \neq 2$, то $x=-2$.

2)

Рассмотрим уравнение $\frac{x-a}{x-1}=0$.

Это уравнение будет иметь решение, если его числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Это можно записать в виде системы:

$\begin{cases} x-a=0 \\ x-1 \neq 0 \end{cases}$

Из первого уравнения системы выразим $x$:

$x-a=0 \implies x=a$

Теперь подставим это значение $x$ в условие неравенства, чтобы найти ограничения на параметр $a$:

$a-1 \neq 0 \implies a \neq 1$

Проанализируем результат в зависимости от значения параметра $a$:

1. Если $a \neq 1$, то условие $x-1 \neq 0$ при $x=a$ выполняется. Следовательно, уравнение имеет единственный корень $x=a$.

2. Если $a=1$, то корень числителя $x=a=1$ является значением, при котором знаменатель $x-1$ обращается в ноль. Это означает, что при $a=1$ уравнение не имеет решений. Исходное уравнение принимает вид $\frac{x-1}{x-1}=0$, что равносильно $1=0$ (при условии $x \neq 1$). Это равенство неверно, следовательно, корней нет.

Ответ: если $a=1$, то корней нет; если $a \neq 1$, то $x=a$.

872. Найдите значение выражения:

1) $2^{-3} + 4^{-2};$

2) $(\frac{3}{5})^{-2} + (-1,8)^0 - 5^{-1};$

3) $(\frac{1}{3})^{-3} \cdot (\frac{2}{3})^{2};$

4) $2^{-3} - 6^{-1} + 3^{-2}.$

1) Чтобы найти значение выражения $2^{-3} + 4^{-2}$, воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$.
Преобразуем каждое слагаемое:
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
$4^{-2} = \frac{1}{4^2} = \frac{1}{16}$
Теперь сложим полученные дроби, приведя их к общему знаменателю 16:
$\frac{1}{8} + \frac{1}{16} = \frac{1 \cdot 2}{8 \cdot 2} + \frac{1}{16} = \frac{2}{16} + \frac{1}{16} = \frac{2+1}{16} = \frac{3}{16}$.
Ответ: $\frac{3}{16}$

2) Чтобы найти значение выражения $(\frac{3}{5})^{-2} + (-1,8)^0 - 5^{-1}$, вычислим значение каждого члена по отдельности.
Для первого члена используем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$:
$(\frac{3}{5})^{-2} = (\frac{5}{3})^2 = \frac{5^2}{3^2} = \frac{25}{9}$.
Для второго члена используем свойство $a^0 = 1$ (для любого $a \ne 0$):
$(-1,8)^0 = 1$.
Для третьего члена используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:
$5^{-1} = \frac{1}{5^1} = \frac{1}{5}$.
Теперь подставим вычисленные значения в исходное выражение:
$\frac{25}{9} + 1 - \frac{1}{5}$.
Приведем все к общему знаменателю 45:
$\frac{25 \cdot 5}{9 \cdot 5} + \frac{1 \cdot 45}{45} - \frac{1 \cdot 9}{5 \cdot 9} = \frac{125}{45} + \frac{45}{45} - \frac{9}{45} = \frac{125+45-9}{45} = \frac{170-9}{45} = \frac{161}{45}$.
Выделим целую часть: $\frac{161}{45} = 3\frac{26}{45}$.
Ответ: $\frac{161}{45}$

3) Для нахождения значения выражения $(\frac{1}{3})^{-3} \cdot (\frac{2}{3})^2$ преобразуем каждый множитель.
Используем свойство $(\frac{a}{b})^{-n} = (\frac{b}{a})^n$ для первого множителя:
$(\frac{1}{3})^{-3} = (\frac{3}{1})^3 = 3^3 = 27$.
Возведем в степень второй множитель:
$(\frac{2}{3})^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}$.
Теперь выполним умножение:
$27 \cdot \frac{4}{9} = \frac{27 \cdot 4}{9}$.
Сократим 27 и 9 на 9:
$\frac{3 \cdot 4}{1} = 12$.
Ответ: $12$

4) Чтобы найти значение выражения $2^{-3} - 6^{-1} + 3^{-2}$, используем свойство $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ для каждого члена.
$2^{-3} = \frac{1}{2^3} = \frac{1}{8}$
$6^{-1} = \frac{1}{6^1} = \frac{1}{6}$
$3^{-2} = \frac{1}{3^2} = \frac{1}{9}$
Подставим полученные дроби в выражение:
$\frac{1}{8} - \frac{1}{6} + \frac{1}{9}$.
Найдем наименьший общий знаменатель для чисел 8, 6 и 9. Это 72.
Приведем дроби к общему знаменателю:
$\frac{1 \cdot 9}{8 \cdot 9} - \frac{1 \cdot 12}{6 \cdot 12} + \frac{1 \cdot 8}{9 \cdot 8} = \frac{9}{72} - \frac{12}{72} + \frac{8}{72}$.
Выполним действия с числителями:
$\frac{9 - 12 + 8}{72} = \frac{-3 + 8}{72} = \frac{5}{72}$.
Ответ: $\frac{5}{72}$

873. Преобразуйте выражение так, чтобы оно не содержало степеней с отрицательными и нулевыми показателями:

1) $\frac{3x^{-8}y^5z^{-12}}{7a^0b^{-3}c^4};$

2) $\frac{1,001^0m^{-15}n^{-7}p^{-4}}{2^{-3}a^{-11}b^{16}c^{-22}}.$

1) Для преобразования данного выражения необходимо избавиться от степеней с отрицательными и нулевыми показателями. Воспользуемся следующими свойствами степеней:
- Любое ненулевое число в нулевой степени равно единице: $a^0 = 1$ (при $a \neq 0$).
- Степень с отрицательным показателем равна обратной величине степени с положительным показателем: $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$ и $\frac{1}{a^{-n}} = a^n$.

Исходное выражение: $ \frac{3x^{-8}y^5z^{-12}}{7a^0b^{-3}c^4} $

Применим правило для нулевого показателя в знаменателе: $a^0 = 1$.
Применим правило для отрицательных показателей:
- $x^{-8}$ в числителе становится $x^8$ в знаменателе.
- $z^{-12}$ в числителе становится $z^{12}$ в знаменателе.
- $b^{-3}$ в знаменателе становится $b^3$ в числителе.

Перенесем множители с отрицательными степенями из числителя в знаменатель и из знаменателя в числитель, изменив знак их показателей на противоположный:
$ \frac{3x^{-8}y^5z^{-12}}{7a^0b^{-3}c^4} = \frac{3y^5b^3}{7 \cdot 1 \cdot c^4x^8z^{12}} = \frac{3b^3y^5}{7c^4x^8z^{12}} $

Ответ: $ \frac{3b^3y^5}{7c^4x^8z^{12}} $

2) Преобразуем второе выражение, используя те же правила.

Исходное выражение: $ \frac{1,001^0 m^{-15}n^{-7} p^{-4}}{2^{-3}a^{-11}b^{16}c^{-22}} $

Применим правило для нулевого показателя в числителе: $1,001^0 = 1$.
Теперь перенесем все множители с отрицательными показателями через дробную черту, меняя знак показателя:
- $m^{-15}$, $n^{-7}$, $p^{-4}$ из числителя переходят в знаменатель как $m^{15}$, $n^7$, $p^4$.
- $2^{-3}$, $a^{-11}$, $c^{-22}$ из знаменателя переходят в числитель как $2^3$, $a^{11}$, $c^{22}$.
Множитель $b^{16}$ остается в знаменателе, так как его показатель положительный.

Получаем: $ \frac{1 \cdot 2^3 a^{11} c^{22}}{b^{16} m^{15} n^7 p^4} $

Вычислим $2^3 = 8$. Окончательное выражение: $ \frac{8a^{11}c^{22}}{b^{16}m^{15}n^7p^4} $

Ответ: $ \frac{8a^{11}c^{22}}{b^{16}m^{15}n^7p^4} $