Номер 910, страница 225 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 910, страница 225.

Условие.

910. Упростите выражение:

1) $\sqrt{(\sqrt{x}+5)^2 - 20\sqrt{x}} + \sqrt{(\sqrt{x}-4)^2 + 16\sqrt{x}};$

2) $\sqrt{a+2\sqrt{a+3}+4} + \sqrt{a-2\sqrt{a+3}+4.}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Упростим данное выражение $ \sqrt{(\sqrt{x}+5)^2 - 20\sqrt{x}} + \sqrt{(\sqrt{x}-4)^2 + 16\sqrt{x}} $.
Для этого сначала преобразуем выражения под каждым корнем, раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые.
Первое подкоренное выражение:
$ (\sqrt{x}+5)^2 - 20\sqrt{x} = ((\sqrt{x})^2 + 2 \cdot \sqrt{x} \cdot 5 + 5^2) - 20\sqrt{x} = (x + 10\sqrt{x} + 25) - 20\sqrt{x} = x - 10\sqrt{x} + 25 $.
Полученное выражение является полным квадратом разности: $ x - 10\sqrt{x} + 25 = (\sqrt{x}-5)^2 $.
Второе подкоренное выражение:
$ (\sqrt{x}-4)^2 + 16\sqrt{x} = ((\sqrt{x})^2 - 2 \cdot \sqrt{x} \cdot 4 + 4^2) + 16\sqrt{x} = (x - 8\sqrt{x} + 16) + 16\sqrt{x} = x + 8\sqrt{x} + 16 $.
Это выражение также является полным квадратом, но уже суммы: $ x + 8\sqrt{x} + 16 = (\sqrt{x}+4)^2 $.
Теперь подставим полученные квадраты обратно в исходное выражение:
$ \sqrt{(\sqrt{x}-5)^2} + \sqrt{(\sqrt{x}+4)^2} $.
Используя свойство арифметического квадратного корня $ \sqrt{a^2}=|a| $, получаем:
$ |\sqrt{x}-5| + |\sqrt{x}+4| $.
Область допустимых значений переменной $x$ определяется условием $ x \ge 0 $. При этом $ \sqrt{x} \ge 0 $, а значит выражение $ \sqrt{x}+4 $ всегда положительно. Следовательно, $ |\sqrt{x}+4| = \sqrt{x}+4 $.
Выражение упрощается до вида: $ |\sqrt{x}-5| + \sqrt{x}+4 $.
Для раскрытия оставшегося модуля необходимо рассмотреть два случая.
Случай 1: Выражение под модулем неотрицательно, т.е. $ \sqrt{x}-5 \ge 0 \Rightarrow \sqrt{x} \ge 5 \Rightarrow x \ge 25 $.
В этом случае $ |\sqrt{x}-5| = \sqrt{x}-5 $. Все выражение равно: $ (\sqrt{x}-5) + (\sqrt{x}+4) = 2\sqrt{x}-1 $.
Случай 2: Выражение под модулем отрицательно, т.е. $ \sqrt{x}-5 < 0 \Rightarrow 0 \le \sqrt{x} < 5 \Rightarrow 0 \le x < 25 $.
В этом случае $ |\sqrt{x}-5| = -(\sqrt{x}-5) = 5-\sqrt{x} $. Все выражение равно: $ (5-\sqrt{x}) + (\sqrt{x}+4) = 9 $.
Ответ: $ \begin{cases} 9, & \text{если } 0 \le x < 25 \\ 2\sqrt{x}-1, & \text{если } x \ge 25 \end{cases} $

2) Упростим выражение $ \sqrt{a+2\sqrt{a+3}+4} + \sqrt{a-2\sqrt{a+3}+4} $.
Преобразуем подкоренные выражения, чтобы выделить в них полные квадраты.
Первое подкоренное выражение:
$ a+2\sqrt{a+3}+4 = (a+3) + 2\sqrt{a+3} + 1 $.
Это выражение вида $ u^2+2u+1=(u+1)^2 $, где $ u=\sqrt{a+3} $. Таким образом, $ (a+3) + 2\sqrt{a+3} + 1 = (\sqrt{a+3}+1)^2 $.
Второе подкоренное выражение:
$ a-2\sqrt{a+3}+4 = (a+3) - 2\sqrt{a+3} + 1 $.
Это выражение вида $ u^2-2u+1=(u-1)^2 $, где $ u=\sqrt{a+3} $. Таким образом, $ (a+3) - 2\sqrt{a+3} + 1 = (\sqrt{a+3}-1)^2 $.
Подставим полученные результаты в исходное выражение:
$ \sqrt{(\sqrt{a+3}+1)^2} + \sqrt{(\sqrt{a+3}-1)^2} $.
Применяя свойство $ \sqrt{b^2}=|b| $, получаем:
$ |\sqrt{a+3}+1| + |\sqrt{a+3}-1| $.
Область допустимых значений переменной $a$ определяется условием $ a+3 \ge 0 \Rightarrow a \ge -3 $.
Так как $ \sqrt{a+3} \ge 0 $, то $ \sqrt{a+3}+1 > 0 $, и модуль можно опустить: $ |\sqrt{a+3}+1| = \sqrt{a+3}+1 $.
Выражение принимает вид: $ \sqrt{a+3}+1 + |\sqrt{a+3}-1| $.
Для раскрытия оставшегося модуля рассмотрим два случая.
Случай 1: $ \sqrt{a+3}-1 \ge 0 \Rightarrow \sqrt{a+3} \ge 1 \Rightarrow a+3 \ge 1 \Rightarrow a \ge -2 $.
Тогда $ |\sqrt{a+3}-1| = \sqrt{a+3}-1 $. Все выражение равно: $ (\sqrt{a+3}+1) + (\sqrt{a+3}-1) = 2\sqrt{a+3} $.
Случай 2: $ \sqrt{a+3}-1 < 0 \Rightarrow 0 \le \sqrt{a+3} < 1 \Rightarrow 0 \le a+3 < 1 \Rightarrow -3 \le a < -2 $.
Тогда $ |\sqrt{a+3}-1| = -(\sqrt{a+3}-1) = 1-\sqrt{a+3} $. Все выражение равно: $ (\sqrt{a+3}+1) + (1-\sqrt{a+3}) = 2 $.
Ответ: $ \begin{cases} 2, & \text{если } -3 \le a < -2 \\ 2\sqrt{a+3}, & \text{если } a \ge -2 \end{cases} $