Номер 905, страница 224 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Упражнения для повторения курса алгебры 8 класса - номер 905, страница 224.

Условие.

905. Сократите дробь:

1) $ \frac{x^2 - 19}{x + \sqrt{19}} $;

2) $ \frac{\sqrt{x} - 6}{x - 36} $;

3) $ \frac{m + 8\sqrt{m}}{m - 64} $;

4) $ \frac{29 - \sqrt{29}}{\sqrt{29}} $;

5) $ \frac{a - 6\sqrt{ab} + 9b}{a - 9b} $, если $ a > 0, b > 0 $;

6) $ \frac{11 - \sqrt{33}}{\sqrt{33} - 3} $.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

1) Для сокращения дроби $\frac{x^2 - 19}{x + \sqrt{19}}$ воспользуемся формулой разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.
Представим числитель $x^2 - 19$ как разность квадратов, заметив, что $19 = (\sqrt{19})^2$.
$x^2 - 19 = x^2 - (\sqrt{19})^2 = (x - \sqrt{19})(x + \sqrt{19})$.
Теперь подставим разложенный числитель обратно в дробь:
$\frac{(x - \sqrt{19})(x + \sqrt{19})}{x + \sqrt{19}}$
Сокращаем общий множитель $(x + \sqrt{19})$ в числителе и знаменателе. В результате получаем:
$x - \sqrt{19}$.
Ответ: $x - \sqrt{19}$

2) Чтобы сократить дробь $\frac{\sqrt{x} - 6}{x - 36}$, представим знаменатель в виде разности квадратов. Так как $x = (\sqrt{x})^2$ (при $x \ge 0$) и $36 = 6^2$, то знаменатель можно записать как:
$x - 36 = (\sqrt{x})^2 - 6^2 = (\sqrt{x} - 6)(\sqrt{x} + 6)$.
Подставим это выражение в исходную дробь:
$\frac{\sqrt{x} - 6}{(\sqrt{x} - 6)(\sqrt{x} + 6)}$
Сократим общий множитель $(\sqrt{x} - 6)$:
$\frac{1}{\sqrt{x} + 6}$.
Ответ: $\frac{1}{\sqrt{x} + 6}$

3) Для сокращения дроби $\frac{m + 8\sqrt{m}}{m - 64}$ разложим на множители числитель и знаменатель.
В числителе вынесем за скобки общий множитель $\sqrt{m}$ (при $m \ge 0$):
$m + 8\sqrt{m} = (\sqrt{m})^2 + 8\sqrt{m} = \sqrt{m}(\sqrt{m} + 8)$.
Знаменатель $m - 64$ является разностью квадратов:
$m - 64 = (\sqrt{m})^2 - 8^2 = (\sqrt{m} - 8)(\sqrt{m} + 8)$.
Запишем дробь с разложенными числителем и знаменателем:
$\frac{\sqrt{m}(\sqrt{m} + 8)}{(\sqrt{m} - 8)(\sqrt{m} + 8)}$
Сократим общий множитель $(\sqrt{m} + 8)$:
$\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m} - 8}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{m}}{\sqrt{m} - 8}$

4) Чтобы сократить дробь $\frac{29 - \sqrt{29}}{\sqrt{29}}$, вынесем в числителе за скобки общий множитель.
Представим число $29$ как $(\sqrt{29})^2$.
$29 - \sqrt{29} = (\sqrt{29})^2 - \sqrt{29} = \sqrt{29}(\sqrt{29} - 1)$.
Подставим полученное выражение в дробь:
$\frac{\sqrt{29}(\sqrt{29} - 1)}{\sqrt{29}}$
Сократим общий множитель $\sqrt{29}$:
$\sqrt{29} - 1$.
Ответ: $\sqrt{29} - 1$

5) Чтобы сократить дробь $\frac{a - 6\sqrt{ab} + 9b}{a - 9b}$, где $a > 0, b > 0$, разложим на множители числитель и знаменатель.
Числитель $a - 6\sqrt{ab} + 9b$ является полным квадратом разности. Убедимся в этом:
$a = (\sqrt{a})^2$, $9b = (3\sqrt{b})^2$, а средний член $6\sqrt{ab} = 2 \cdot \sqrt{a} \cdot 3\sqrt{b}$.
Следовательно, $a - 6\sqrt{ab} + 9b = (\sqrt{a} - 3\sqrt{b})^2$.
Знаменатель $a - 9b$ — это разность квадратов:
$a - 9b = (\sqrt{a})^2 - (3\sqrt{b})^2 = (\sqrt{a} - 3\sqrt{b})(\sqrt{a} + 3\sqrt{b})$.
Подставим разложения в дробь:
$\frac{(\sqrt{a} - 3\sqrt{b})^2}{(\sqrt{a} - 3\sqrt{b})(\sqrt{a} + 3\sqrt{b})}$
Сократим общий множитель $(\sqrt{a} - 3\sqrt{b})$:
$\frac{\sqrt{a} - 3\sqrt{b}}{\sqrt{a} + 3\sqrt{b}}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{a} - 3\sqrt{b}}{\sqrt{a} + 3\sqrt{b}}$

6) Чтобы сократить дробь $\frac{11 - \sqrt{33}}{\sqrt{33} - 3}$, вынесем общие множители в числителе и знаменателе.
В числителе: $11 - \sqrt{33} = \sqrt{11 \cdot 11} - \sqrt{11 \cdot 3} = \sqrt{11}(\sqrt{11} - \sqrt{3})$.
В знаменателе: $\sqrt{33} - 3 = \sqrt{11 \cdot 3} - \sqrt{3 \cdot 3} = \sqrt{3}(\sqrt{11} - \sqrt{3})$.
Подставим полученные выражения в дробь:
$\frac{\sqrt{11}(\sqrt{11} - \sqrt{3})}{\sqrt{3}(\sqrt{11} - \sqrt{3})}$
Сократим общий множитель $(\sqrt{11} - \sqrt{3})$:
$\frac{\sqrt{11}}{\sqrt{3}}$
Для избавления от иррациональности в знаменателе домножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:
$\frac{\sqrt{11} \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{\sqrt{33}}{3}$.
Ответ: $\frac{\sqrt{33}}{3}$