Страница 211 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

1. Найдите корни квадратного трёхчлена $5x^2 - x - 6$.

А) 2; -0,6

Б) -2; 0,6

В) 1; -1,2

Г) -1; 1,2

1.

Чтобы найти корни квадратного трёхчлена $5x^2 - x - 6$, необходимо приравнять его к нулю и решить полученное квадратное уравнение:

$5x^2 - x - 6 = 0$

Это квадратное уравнение стандартного вида $ax^2 + bx + c = 0$. Определим его коэффициенты:
$a = 5$
$b = -1$
$c = -6$

Решим уравнение с помощью дискриминанта. Формула для дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

Подставим наши значения в формулу:
$D = (-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-6) = 1 - (-120) = 1 + 120 = 121$

Поскольку дискриминант $D = 121 > 0$, уравнение имеет два различных действительных корня.

Корни находятся по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$.

Вычислим первый корень:
$x_1 = \frac{-(-1) + \sqrt{121}}{2 \cdot 5} = \frac{1 + 11}{10} = \frac{12}{10} = 1,2$

Вычислим второй корень:
$x_2 = \frac{-(-1) - \sqrt{121}}{2 \cdot 5} = \frac{1 - 11}{10} = \frac{-10}{10} = -1$

Таким образом, корнями квадратного трёхчлена являются числа $-1$ и $1,2$. Этот результат соответствует варианту ответа Г).

Ответ: Г) -1; 1,2

2. Разложите на множители квадратный трёхчлен $-x^2 - 4x + 5$.

А) $(x - 1)(x + 5)$

Б) $(x + 1)(x - 5)$

В) $-(x - 1)(x + 5)$

Г) $-(x + 1)(x - 5)$

Для того чтобы разложить квадратный трёхчлен вида $ax^2 + bx + c$ на множители, используется формула $a(x - x_1)(x - x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ являются корнями соответствующего квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$.

Шаг 1: Нахождение корней уравнения

Рассмотрим исходный трёхчлен: $-x^2 - 4x + 5$.

Составим квадратное уравнение, приравняв трёхчлен к нулю:

$-x^2 - 4x + 5 = 0$

Для удобства вычислений умножим все члены уравнения на $-1$:

$x^2 + 4x - 5 = 0$

Теперь найдём корни этого уравнения с помощью дискриминанта. Коэффициенты уравнения: $a=1$, $b=4$, $c=-5$.

Формула дискриминанта: $D = b^2 - 4ac$.

$D = 4^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдём их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-4 + \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 + 6}{2} = \frac{2}{2} = 1$

$x_2 = \frac{-4 - \sqrt{36}}{2 \cdot 1} = \frac{-4 - 6}{2} = \frac{-10}{2} = -5$

Таким образом, корни квадратного трёхчлена равны $1$ и $-5$.

Шаг 2: Разложение на множители

Теперь применим формулу разложения $a(x - x_1)(x - x_2)$. Важно помнить, что коэффициент $a$ берётся из исходного трёхчлена $-x^2 - 4x + 5$, то есть $a = -1$.

Подставим найденные значения $a = -1$, $x_1 = 1$ и $x_2 = -5$ в формулу:

$-1 \cdot (x - 1)(x - (-5))$

Упростим полученное выражение:

$-(x - 1)(x + 5)$

Это и есть разложение исходного квадратного трёхчлена на множители. Сравнив результат с предложенными вариантами, видим, что он совпадает с вариантом В.

Проверка:

Для уверенности можно раскрыть скобки в полученном ответе:

$-(x - 1)(x + 5) = -(x^2 + 5x - x - 5) = -(x^2 + 4x - 5) = -x^2 - 4x + 5$

Результат полностью совпадает с исходным выражением.

Ответ: В) $-(x - 1)(x + 5)$

3. Сократите дробь $ \frac{x^2 + 7x + 12}{x^2 + x - 6} $.

А) $ \frac{x + 4}{x - 2} $

Б) $ \frac{x - 4}{x - 2} $

В) $ \frac{x + 4}{x + 2} $

Г) $ \frac{x - 4}{x + 2} $

Для того чтобы сократить дробь, необходимо разложить ее числитель и знаменатель на множители. Разложение квадратного трехчлена $ax^2+bx+c$ на множители выполняется по формуле $a(x-x_1)(x-x_2)$, где $x_1$ и $x_2$ — корни уравнения $ax^2+bx+c=0$.

Сначала разложим на множители числитель $x^2 + 7x + 12$. Для этого решим квадратное уравнение $x^2 + 7x + 12 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1$.

Найдем корни уравнения по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-7 - \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 1}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

$x_2 = \frac{-7 + \sqrt{1}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 1}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Следовательно, разложение числителя на множители: $x^2 + 7x + 12 = (x - (-4))(x - (-3)) = (x+4)(x+3)$.

Теперь разложим на множители знаменатель $x^2 + x - 6$. Решим уравнение $x^2 + x - 6 = 0$.

Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$.

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-1 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 5}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

$x_2 = \frac{-1 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{4}{2} = 2$

Следовательно, разложение знаменателя на множители: $x^2 + x - 6 = (x - (-3))(x - 2) = (x+3)(x-2)$.

Подставим полученные разложения в исходную дробь и выполним сокращение:

$\frac{x^2 + 7x + 12}{x^2 + x - 6} = \frac{(x+4)(x+3)}{(x+3)(x-2)}$

Сокращаем общий множитель $(x+3)$ (при условии, что $x \neq -3$):

$\frac{(x+4)\cancel{(x+3)}}{(x-2)\cancel{(x+3)}} = \frac{x+4}{x-2}$

Полученный результат соответствует варианту А).

Ответ: A) $\frac{x+4}{x-2}$

4. Решите уравнение $x^4 + 7x^2 - 18 = 0$.

А) -3; 3

Б) $-\sqrt{2}$; $\sqrt{2}$

В) -3; $-\sqrt{2}$; $\sqrt{2}$; 3

Г) $\sqrt{2}$; 3

Данное уравнение $x^4 + 7x^2 - 18 = 0$ является биквадратным. Для его решения введем замену переменной.
Пусть $t = x^2$. Поскольку квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным, должно выполняться условие $t \ge 0$.
После замены исходное уравнение принимает вид квадратного уравнения относительно переменной $t$:
$t^2 + 7t - 18 = 0$
Решим это квадратное уравнение. Сначала найдем дискриминант $D$:
$D = b^2 - 4ac = 7^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-18) = 49 + 72 = 121$
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два различных корня. Найдем их:
$t_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 - 11}{2} = \frac{-18}{2} = -9$
$t_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-7 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-7 + 11}{2} = \frac{4}{2} = 2$
Теперь вернемся к условию $t \ge 0$.
Корень $t_1 = -9$ не удовлетворяет этому условию ($ -9 < 0 $), следовательно, он является посторонним.
Корень $t_2 = 2$ удовлетворяет условию ($ 2 \ge 0 $).
Выполним обратную замену для $t_2 = 2$:
$x^2 = 2$
Это уравнение имеет два действительных корня:
$x_1 = \sqrt{2}$
$x_2 = -\sqrt{2}$
Таким образом, исходное уравнение имеет два корня. Сравнивая с предложенными вариантами, видим, что правильный ответ находится под буквой Б).
Ответ: $-\sqrt{2}; \sqrt{2}$.

5. Найдите корни уравнения $(x^2 - 4x)^2 - 2(x^2 - 4x) - 15 = 0$.

А) -1; 1; 3; 5

Б) -1; 5

В) 1; 3

Г) 1; 3; 5

Данное уравнение является уравнением, сводящимся к квадратному. Для его решения используется метод введения новой переменной.

1. Введение новой переменной

Заметим, что выражение $(x^2 - 4x)$ повторяется в уравнении. Введем новую переменную $t = x^2 - 4x$.Исходное уравнение $(x^2 - 4x)^2 - 2(x^2 - 4x) - 15 = 0$ можно переписать в виде квадратного уравнения относительно $t$:

$t^2 - 2t - 15 = 0$

2. Решение квадратного уравнения относительно t

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Таким образом, мы получили два возможных значения для $t$: $5$ и $-3$.

3. Обратная замена и нахождение корней x

Теперь необходимо выполнить обратную замену для каждого найденного значения $t$ и решить получившиеся уравнения относительно $x$.

Случай 1: $t = 5$

Подставляем значение $t$ в замену $t = x^2 - 4x$:

$x^2 - 4x = 5$

Переносим все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 4x - 5 = 0$

Решим его. Дискриминант $D_1$:

$D_1 = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$

Находим корни:

$x_1 = \frac{4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{4 + 6}{2} = 5$

$x_2 = \frac{4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{4 - 6}{2} = -1$

Случай 2: $t = -3$

Аналогично подставляем второе значение $t$:

$x^2 - 4x = -3$

Приводим к стандартному виду:

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Решим это уравнение. Дискриминант $D_2$:

$D_2 = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$

Находим корни:

$x_3 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3$

$x_4 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1$

4. Итог

Мы нашли все корни исходного уравнения, объединив решения из обоих случаев: $\{-1, 1, 3, 5\}$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту А).

Ответ: -1; 1; 3; 5

6. Решите уравнение $x - \sqrt{x} - 12 = 0$.

А) -3; 4

Б) -2; 2

В) 16

Г) 9; 16

Данное уравнение $x - \sqrt{x} - 12 = 0$ является иррациональным уравнением, которое сводится к квадратному.

Сначала определим область допустимых значений (ОДЗ). Так как в уравнении присутствует арифметический квадратный корень $\sqrt{x}$, подкоренное выражение должно быть неотрицательным.
ОДЗ: $x \ge 0$.

Для решения введем новую переменную. Пусть $t = \sqrt{x}$.
По определению арифметического квадратного корня, значение $t$ должно быть неотрицательным, то есть $t \ge 0$.
Если $t = \sqrt{x}$, то $x = t^2$. Подставим это в исходное уравнение:
$t^2 - t - 12 = 0$.

Получилось квадратное уравнение относительно переменной $t$. Решим его с помощью дискриминанта.
$a=1, b=-1, c=-12$.
$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-12) = 1 + 48 = 49$.
$\sqrt{D} = \sqrt{49} = 7$.
Найдем корни для $t$:
$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) + 7}{2 \cdot 1} = \frac{1 + 7}{2} = \frac{8}{2} = 4$.
$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-1) - 7}{2 \cdot 1} = \frac{1 - 7}{2} = \frac{-6}{2} = -3$.

Теперь необходимо проверить найденные корни $t$ на соответствие условию $t \ge 0$.
$t_1 = 4$ удовлетворяет условию ($4 \ge 0$).
$t_2 = -3$ не удовлетворяет условию ($-3 < 0$), следовательно, это посторонний корень.

У нас остался один подходящий корень $t=4$. Выполним обратную замену:
$\sqrt{x} = 4$.
Чтобы найти $x$, возведем обе части уравнения в квадрат:
$(\sqrt{x})^2 = 4^2$
$x = 16$.

Найденный корень $x=16$ удовлетворяет ОДЗ ($16 \ge 0$).
Выполним проверку, подставив $x=16$ в исходное уравнение:
$16 - \sqrt{16} - 12 = 16 - 4 - 12 = 12 - 12 = 0$.
$0 = 0$.
Равенство верное, значит, решение найдено правильно.

Ответ: 16

7. Решите уравнение $\frac{x^2 - 6}{x - 3} = \frac{x}{x - 3}$.

А) -2

Б) 3

В) -2; 3

Г) -3; 2

Данное уравнение является рациональным: $\frac{x^2 - 6}{x - 3} = \frac{x}{x - 3}$.

1. Нахождение области допустимых значений (ОДЗ)

Знаменатель дроби не может быть равен нулю, так как на ноль делить нельзя. Поэтому мы должны исключить значения $x$, которые обращают знаменатель в ноль.

$x - 3 \neq 0$

$x \neq 3$

Таким образом, ОДЗ: $x$ — любое число, кроме 3.

2. Решение уравнения

Поскольку дроби в левой и правой частях уравнения имеют одинаковые знаменатели, мы можем приравнять их числители, при условии, что решение будет удовлетворять ОДЗ.

$x^2 - 6 = x$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить приведенное квадратное уравнение:

$x^2 - x - 6 = 0$

Решим это уравнение. Можно воспользоваться теоремой Виета. Для уравнения вида $x^2 + px + q = 0$ сумма корней равна $-p$, а произведение корней равно $q$. В нашем случае $p = -1$ и $q = -6$.

Следовательно, ищем два числа $x_1$ и $x_2$, для которых:

$x_1 + x_2 = -(-1) = 1$

$x_1 \cdot x_2 = -6$

Методом подбора находим, что этими числами являются $3$ и $-2$.

$x_1 = 3$

$x_2 = -2$

3. Проверка корней

Теперь необходимо проверить, входят ли найденные корни в область допустимых значений ($x \neq 3$).

Корень $x_1 = 3$ не удовлетворяет ОДЗ, так как при $x=3$ знаменатель исходного уравнения обращается в ноль. Следовательно, $x=3$ — это посторонний корень.

Корень $x_2 = -2$ удовлетворяет ОДЗ, так как $-2 \neq 3$.

Таким образом, уравнение имеет только один корень.

Ответ: -2

8. Решите уравнение $\frac{3x-1}{x} - \frac{4}{x-2} = \frac{10-9x}{x^2-2x}$

А) $-\frac{4}{3}; 2$

Б) $\frac{4}{3}; -2$

В) $-\frac{4}{3}$

Г) $2$

Для решения данного рационального уравнения необходимо выполнить следующие шаги:

1. Найти область допустимых значений (ОДЗ)

Знаменатели дробей в уравнении не могут быть равны нулю. Поэтому мы должны исключить значения $x$, которые обращают знаменатели в ноль.

$\frac{3x - 1}{x} - \frac{4}{x - 2} = \frac{10 - 9x}{x^2 - 2x}$

Из первого знаменателя: $x \neq 0$.

Из второго знаменателя: $x - 2 \neq 0$, что означает $x \neq 2$.

Третий знаменатель $x^2 - 2x$ можно разложить на множители: $x(x-2)$. Условие $x(x-2) \neq 0$ дает те же ограничения: $x \neq 0$ и $x \neq 2$.

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty, 0) \cup (0, 2) \cup (2, +\infty)$.

2. Привести уравнение к общему знаменателю и решить его

Общий знаменатель для всех дробей в уравнении - это $x(x - 2)$. Умножим обе части уравнения на этот общий знаменатель, чтобы избавиться от дробей:

$(3x - 1)(x - 2) - 4 \cdot x = 10 - 9x$

Теперь раскроем скобки и упростим полученное выражение:

$3x^2 - 6x - x + 2 - 4x = 10 - 9x$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$3x^2 - 11x + 2 = 10 - 9x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть, чтобы получить квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$:

$3x^2 - 11x + 9x + 2 - 10 = 0$

$3x^2 - 2x - 8 = 0$

3. Решить квадратное уравнение

Решим уравнение $3x^2 - 2x - 8 = 0$ с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-8) = 4 + 96 = 100$

Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{2 + 10}{6} = \frac{12}{6} = 2$

$x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{100}}{2 \cdot 3} = \frac{2 - 10}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$

4. Проверить корни на соответствие ОДЗ

Необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни ($2$ и $-\frac{4}{3}$) области допустимых значений ($x \neq 0$ и $x \neq 2$).

Корень $x_1 = 2$ не входит в ОДЗ, так как при этом значении знаменатель $x-2$ обращается в ноль. Следовательно, $x=2$ является посторонним корнем и не является решением исходного уравнения.

Корень $x_2 = -\frac{4}{3}$ удовлетворяет ОДЗ, так как он не равен ни 0, ни 2.

Таким образом, у уравнения есть только один корень.

Ответ: $-\frac{4}{3}$

9. Из одного города в другой, расстояние между которыми равно 350 км, выехали одновременно грузовой и легковой автомобили. Скорость грузовика на 20 км/ч меньше скорости легкового автомобиля, в результате чего грузовик прибыл в пункт назначения на 2 ч позже легкового автомобиля.

Пусть скорость грузового автомобиля равна $x$ км/ч. Какое из уравнений является математической моделью ситуации, описанной в условии задачи?

А) $ \frac{350}{x} - \frac{350}{x + 20} = 2 $

В) $ \frac{350}{x + 20} - \frac{350}{x} = 2 $

Б) $ \frac{350}{x} + \frac{350}{x + 20} = 2 $

Г) $ \frac{350}{x} - \frac{350}{x - 20} = 2 $

Для составления математической модели данной ситуации необходимо выполнить следующие шаги:

1. Определить переменные.
Согласно условию задачи, пусть скорость грузового автомобиля равна $x$ км/ч.Скорость грузовика на 20 км/ч меньше скорости легкового автомобиля. Следовательно, скорость легкового автомобиля на 20 км/ч больше скорости грузовика.Таким образом, скорость легкового автомобиля равна $(x + 20)$ км/ч.

2. Выразить время в пути для каждого автомобиля.
Расстояние между городами составляет 350 км. Время в пути ($t$) находится по формуле $t = S/v$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

• Время, которое грузовик затратил на путь: $t_{грузовик} = \frac{350}{x}$ часов.
• Время, которое легковой автомобиль затратил на путь: $t_{легковой} = \frac{350}{x + 20}$ часов.

3. Составить уравнение на основе разницы во времени.
В условии сказано, что грузовик прибыл в пункт назначения на 2 часа позже легкового автомобиля. Это означает, что время, затраченное грузовиком, на 2 часа больше, чем время, затраченное легковым автомобилем.Математически это можно записать так:$t_{грузовик} - t_{легковой} = 2$

4. Подставить выражения для времени в уравнение.
Подставляем выражения для $t_{грузовик}$ и $t_{легковой}$, полученные на шаге 2:$\frac{350}{x} - \frac{350}{x + 20} = 2$

Полученное уравнение является математической моделью ситуации, описанной в задаче. Сравнивая его с предложенными вариантами, мы видим, что оно совпадает с вариантом А).

Ответ: А) $\frac{350}{x} - \frac{350}{x + 20} = 2$