Номер 5, страница 211 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Задание №6 «Проверь себя» в тестовой форме. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 5, страница 211.

Условие.

5. Найдите корни уравнения $(x^2 - 4x)^2 - 2(x^2 - 4x) - 15 = 0$.

А) -1; 1; 3; 5

Б) -1; 5

В) 1; 3

Г) 1; 3; 5

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 8.

Данное уравнение является уравнением, сводящимся к квадратному. Для его решения используется метод введения новой переменной.

1. Введение новой переменной

Заметим, что выражение $(x^2 - 4x)$ повторяется в уравнении. Введем новую переменную $t = x^2 - 4x$.Исходное уравнение $(x^2 - 4x)^2 - 2(x^2 - 4x) - 15 = 0$ можно переписать в виде квадратного уравнения относительно $t$:

$t^2 - 2t - 15 = 0$

2. Решение квадратного уравнения относительно t

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$.

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64$

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 8}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 8}{2} = \frac{-6}{2} = -3$

Таким образом, мы получили два возможных значения для $t$: $5$ и $-3$.

3. Обратная замена и нахождение корней x

Теперь необходимо выполнить обратную замену для каждого найденного значения $t$ и решить получившиеся уравнения относительно $x$.

Случай 1: $t = 5$

Подставляем значение $t$ в замену $t = x^2 - 4x$:

$x^2 - 4x = 5$

Переносим все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 4x - 5 = 0$

Решим его. Дискриминант $D_1$:

$D_1 = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36$

Находим корни:

$x_1 = \frac{4 + \sqrt{36}}{2} = \frac{4 + 6}{2} = 5$

$x_2 = \frac{4 - \sqrt{36}}{2} = \frac{4 - 6}{2} = -1$

Случай 2: $t = -3$

Аналогично подставляем второе значение $t$:

$x^2 - 4x = -3$

Приводим к стандартному виду:

$x^2 - 4x + 3 = 0$

Решим это уравнение. Дискриминант $D_2$:

$D_2 = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 16 - 12 = 4$

Находим корни:

$x_3 = \frac{4 + \sqrt{4}}{2} = \frac{4 + 2}{2} = 3$

$x_4 = \frac{4 - \sqrt{4}}{2} = \frac{4 - 2}{2} = 1$

4. Итог

Мы нашли все корни исходного уравнения, объединив решения из обоих случаев: $\{-1, 1, 3, 5\}$.

Сравнивая полученный результат с предложенными вариантами, мы видим, что он соответствует варианту А).

Ответ: -1; 1; 3; 5