Номер 4, страница 210 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Элементы математической логики. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 4, страница 210.

Условие.

4. Докажите, что:

1) $\overline{\overline{A}} = A;$

2) $A \wedge A = A;$

3) $A \vee B = B \vee A;$

4) $A \vee (B \wedge C) = (A \vee B) \wedge (A \vee C);$

5) $\overline{A \vee B} = \overline{A} \wedge \overline{B};$

6) $(A \Rightarrow B) = \overline{B} \Rightarrow \overline{A}.$

Решение 1.

Решение 8.

1) Докажите, что $\overline{\overline{A}} = A$

Это тождество известно как закон двойного отрицания. Для его доказательства построим таблицу истинности. В таблице мы сравним значения выражения $\overline{\overline{A}}$ со значениями исходного высказывания $A$ для всех возможных логических значений $A$ (0 - ложь, 1 - истина).

$A$	$\overline{A}$	$\overline{\overline{A}}$
0	1	0
1	0	1

Сравнивая первый и третий столбцы таблицы, мы видим, что они полностью совпадают. Это означает, что выражения $A$ и $\overline{\overline{A}}$ эквивалентны при любых значениях $A$.

Ответ: Тождество $\overline{\overline{A}} = A$ доказано, поскольку столбцы значений для $A$ и $\overline{\overline{A}}$ в таблице истинности полностью совпадают.

2) Докажите, что $A \wedge A = A$

Это тождество является законом идемпотентности для конъюнкции (логического "И"). Докажем его с помощью таблицы истинности для переменной $A$.

$A$	$A \wedge A$
0	$0 \wedge 0 = 0$
1	$1 \wedge 1 = 1$

Как видно из таблицы, значения в столбцах для $A$ и $A \wedge A$ идентичны. Следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество $A \wedge A = A$ доказано, так как результаты операции $A \wedge A$ совпадают со значениями $A$ для всех возможных случаев.

3) Докажите, что $A \vee B = B \vee A$

Это коммутативный (переместительный) закон для дизъюнкции (логического "ИЛИ"). Доказательство проведем путем построения таблицы истинности для всех возможных комбинаций значений переменных $A$ и $B$.

$A$	$B$	$A \vee B$	$B \vee A$
0	0	0	0
0	1	1	1
1	0	1	1
1	1	1	1

Сравнивая столбцы для $A \vee B$ и $B \vee A$, мы видим, что они полностью совпадают для всех комбинаций $A$ и $B$. Это доказывает справедливость тождества.

Ответ: Тождество $A \vee B = B \vee A$ доказано, так как таблицы истинности для левой и правой частей выражения полностью совпадают.

4) Докажите, что $A \vee (B \wedge C) = (A \vee B) \wedge (A \vee C)$

Это дистрибутивный (распределительный) закон дизъюнкции относительно конъюнкции. Для доказательства составим полную таблицу истинности для трех переменных $A$, $B$ и $C$.

$A$	$B$	$C$	$B \wedge C$	$A \vee (B \wedge C)$	$A \vee B$	$A \vee C$	$(A \vee B) \wedge (A \vee C)$
0	0	0	0	0	0	0	0
0	0	1	0	0	0	1	0
0	1	0	0	0	1	0	0
0	1	1	1	1	1	1	1
1	0	0	0	1	1	1	1
1	0	1	0	1	1	1	1
1	1	0	0	1	1	1	1
1	1	1	1	1	1	1	1

Столбцы, выделенные жирным шрифтом (пятый и восьмой), представляют собой значения левой и правой частей равенства. Так как они полностью совпадают для всех восьми возможных комбинаций значений $A, B, C$, тождество доказано.

Ответ: Тождество $A \vee (B \wedge C) = (A \vee B) \wedge (A \vee C)$ доказано, так как итоговые столбцы значений для левой и правой частей в таблице истинности идентичны.

5) Докажите, что $\overline{A \vee B} = \overline{A} \wedge \overline{B}$

Это один из законов де Моргана. Докажем его с помощью таблицы истинности для переменных $A$ и $B$.

$A$	$B$	$A \vee B$	$\overline{A \vee B}$	$\overline{A}$	$\overline{B}$	$\overline{A} \wedge \overline{B}$
0	0	0	1	1	1	1
0	1	1	0	1	0	0
1	0	1	0	0	1	0
1	1	1	0	0	0	0

Сравнивая выделенные жирным шрифтом столбцы для $\overline{A \vee B}$ и $\overline{A} \wedge \overline{B}$, мы видим их полное совпадение. Следовательно, тождество верно.

Ответ: Тождество $\overline{A \vee B} = \overline{A} \wedge \overline{B}$ доказано путем построения таблицы истинности, которая показала эквивалентность левой и правой частей выражения.

6) Докажите, что $(A \Rightarrow B) = (\overline{B} \Rightarrow \overline{A})$

Это тождество называется законом контрапозиции. Для его доказательства используем таблицу истинности. Вспомним, что логическая импликация $X \Rightarrow Y$ эквивалентна выражению $\overline{X} \vee Y$.

$A$	$B$	$\overline{A}$	$\overline{B}$	$A \Rightarrow B$	$\overline{B} \Rightarrow \overline{A}$
0	0	1	1	1	1
0	1	1	0	1	1
1	0	0	1	0	0
1	1	0	0	1	1

Как видно из таблицы, итоговые столбцы для выражений $(A \Rightarrow B)$ и $(\overline{B} \Rightarrow \overline{A})$ полностью совпадают при всех комбинациях значений $A$ и $B$. Таким образом, тождество доказано.

Ответ: Тождество $(A \Rightarrow B) = (\overline{B} \Rightarrow \overline{A})$ доказано, так как таблицы истинности для левого и правого выражений идентичны.