Номер 835, страница 203 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций - номер 835, страница 203.

Условие.

835. При каком значении $k$ график функции $y = \frac{k}{x}$ проходит через точку $A(-\sqrt{12}; \sqrt{3})$? Постройте этот график.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Нахождение коэффициента k

Для того чтобы график функции $y = \frac{k}{x}$ проходил через точку $A(-\sqrt{12}; \sqrt{3})$, координаты этой точки должны удовлетворять уравнению функции. Подставим значения $x = -\sqrt{12}$ и $y = \sqrt{3}$ в уравнение:

$\sqrt{3} = \frac{k}{-\sqrt{12}}$

Теперь выразим коэффициент $k$:

$k = \sqrt{3} \cdot (-\sqrt{12})$

Упростим полученное выражение, используя свойство произведения корней $\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{ab}$:

$k = -\sqrt{3 \cdot 12} = -\sqrt{36}$

$k = -6$

Ответ: $k = -6$.

Построение графика

После нахождения $k$ уравнение функции принимает вид $y = -\frac{6}{x}$.

Графиком этой функции является гипербола. Так как коэффициент $k = -6$ отрицателен, ветви гиперболы расположены во второй и четвертой координатных четвертях. Асимптотами графика являются оси координат $Ox$ и $Oy$.

Для построения графика найдем координаты нескольких точек, принадлежащих каждой ветви, составив таблицу значений.

Ветвь во II четверти (при $x < 0$):

• Если $x = -6$, то $y = -\frac{6}{-6} = 1$. Точка $(-6, 1)$.
• Если $x = -3$, то $y = -\frac{6}{-3} = 2$. Точка $(-3, 2)$.
• Если $x = -2$, то $y = -\frac{6}{-2} = 3$. Точка $(-2, 3)$.
• Если $x = -1$, то $y = -\frac{6}{-1} = 6$. Точка $(-1, 6)$.

Ветвь в IV четверти (при $x > 0$):

• Если $x = 1$, то $y = -\frac{6}{1} = -6$. Точка $(1, -6)$.
• Если $x = 2$, то $y = -\frac{6}{2} = -3$. Точка $(2, -3)$.
• Если $x = 3$, то $y = -\frac{6}{3} = -2$. Точка $(3, -2)$.
• Если $x = 6$, то $y = -\frac{6}{6} = -1$. Точка $(6, -1)$.

Отметив эти точки на координатной плоскости и соединив их плавными кривыми, получим график функции — гиперболу. Каждая ветвь будет неограниченно приближаться к осям координат, не пересекая их. Исходная точка $A(-\sqrt{12}; \sqrt{3})$ также будет лежать на этой гиперболе, так как $y(-\sqrt{12}) = -\frac{6}{-\sqrt{12}} = \frac{6}{\sqrt{12}} = \frac{6}{2\sqrt{3}} = \frac{3}{\sqrt{3}} = \sqrt{3}$.

Ответ: Графиком функции является гипербола $y = -\frac{6}{x}$ с ветвями во II и IV координатных четвертях, проходящая через точки $(-6, 1)$, $(-3, 2)$, $(-2, 3)$, $(-1, 6)$ и $(1, -6)$, $(2, -3)$, $(3, -2)$, $(6, -1)$.