Номер 831, страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 831, страница 202.

Условие.

831. Чтобы выполнить некоторое производственное задание, одному рабочему требуется на 12 ч меньше, чем другому, и на 4 ч больше, чем обоим рабочим для совместного выполнения задания. За сколько часов может выполнить это задание первый рабочий?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $t_1$ часов — время, за которое первый рабочий выполнит задание, работая самостоятельно. Это искомая величина.

Согласно условию задачи, первому рабочему требуется на 12 часов меньше, чем второму. Следовательно, время, которое требуется второму рабочему ($t_2$), составляет:
$t_2 = t_1 + 12$ часов.

Также по условию, первому рабочему требуется на 4 часа больше, чем обоим рабочим для совместного выполнения задания. Это означает, что время совместной работы ($t_{совм}$) составляет:
$t_{совм} = t_1 - 4$ часов.

Примем объем всей работы за 1 единицу. Тогда производительность (скорость работы) каждого рабочего и их совместная производительность будут следующими:
Производительность первого рабочего: $P_1 = \frac{1}{t_1}$ (часть работы в час).
Производительность второго рабочего: $P_2 = \frac{1}{t_2} = \frac{1}{t_1 + 12}$ (часть работы в час).
Совместная производительность равна сумме их производительностей: $P_{совм} = P_1 + P_2$.
Время совместной работы связано с совместной производительностью формулой: $t_{совм} = \frac{1}{P_{совм}}$.

Подставим выражения для производительностей в формулу совместной работы:
$t_{совм} = \frac{1}{\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_1 + 12}}$

Теперь у нас есть два выражения для $t_{совм}$. Приравняем их, чтобы составить уравнение:
$t_1 - 4 = \frac{1}{\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_1 + 12}}$

Решим полученное уравнение относительно $t_1$. Сначала упростим правую часть. Найдем общий знаменатель для дробей в знаменателе:
$\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_1 + 12} = \frac{t_1 + 12 + t_1}{t_1(t_1 + 12)} = \frac{2t_1 + 12}{t_1^2 + 12t_1}$
Теперь уравнение выглядит так:
$t_1 - 4 = \frac{1}{\frac{2t_1 + 12}{t_1^2 + 12t_1}} = \frac{t_1^2 + 12t_1}{2t_1 + 12}$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $(2t_1 + 12)$, чтобы избавиться от дроби (при условии, что $t_1 > 4$, знаменатель не равен нулю):
$(t_1 - 4)(2t_1 + 12) = t_1^2 + 12t_1$
Раскроем скобки:
$2t_1^2 + 12t_1 - 8t_1 - 48 = t_1^2 + 12t_1$
$2t_1^2 + 4t_1 - 48 = t_1^2 + 12t_1$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:
$2t_1^2 - t_1^2 + 4t_1 - 12t_1 - 48 = 0$
$t_1^2 - 8t_1 - 48 = 0$

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 64 + 192 = 256$
$\sqrt{D} = 16$
Найдем корни:
$t_{1,1} = \frac{-(-8) + 16}{2 \cdot 1} = \frac{8 + 16}{2} = \frac{24}{2} = 12$
$t_{1,2} = \frac{-(-8) - 16}{2 \cdot 1} = \frac{8 - 16}{2} = \frac{-8}{2} = -4$

Так как время не может быть отрицательным, корень $t_1 = -4$ является посторонним и не соответствует условию задачи. Следовательно, время выполнения задания первым рабочим составляет 12 часов.
Проверка:
Время первого рабочего $t_1 = 12$ ч.
Время второго рабочего $t_2 = 12 + 12 = 24$ ч.
Время совместной работы $t_{совм} = 12 - 4 = 8$ ч.
Проверим по формуле совместной работы: $\frac{1}{1/12 + 1/24} = \frac{1}{(2+1)/24} = \frac{1}{3/24} = \frac{24}{3} = 8$ ч.
Результаты сходятся, решение верное.
Ответ: 12 часов.