Номер 825, страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций - номер 825, страница 202.

Условие.

825. Кусок сплава меди и цинка, содержавший $10 \text{ кг}$ цинка, сплавили с $10 \text{ кг}$ меди. Полученный сплав содержит на $5 \%$ меди больше, чем исходный. Сколько килограммов меди содержал исходный кусок сплава?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $x$ кг — масса меди в исходном куске сплава. По условию, в этом куске содержалось 10 кг цинка, следовательно, общая масса исходного сплава составляла $(x + 10)$ кг.

Концентрация меди (процентное содержание в долях) в исходном сплаве равна отношению массы меди к общей массе сплава: $c_1 = \frac{x}{x + 10}$.

После того как к исходному сплаву добавили 10 кг меди, масса меди в новом сплаве стала $(x + 10)$ кг, а общая масса нового сплава увеличилась на 10 кг и стала $(x + 10) + 10 = (x + 20)$ кг.

Концентрация меди в новом, полученном сплаве: $c_2 = \frac{x + 10}{x + 20}$.

Согласно условию, содержание меди в новом сплаве на 5% больше, чем в исходном. Это означает, что разница в концентрациях составляет 5 процентных пунктов, то есть 0,05 в долях. На основе этого составим уравнение: $c_2 - c_1 = 0,05$.

Подставим выражения для $c_1$ и $c_2$ в уравнение: $\frac{x + 10}{x + 20} - \frac{x}{x + 10} = 0,05$.

Представим 0,05 в виде обыкновенной дроби $\frac{5}{100} = \frac{1}{20}$ и приведем левую часть уравнения к общему знаменателю $(x + 20)(x + 10)$: $\frac{(x + 10)(x + 10) - x(x + 20)}{(x + 20)(x + 10)} = \frac{1}{20}$.

Раскроем скобки и упростим числитель в левой части уравнения: $\frac{(x^2 + 20x + 100) - (x^2 + 20x)}{(x + 20)(x + 10)} = \frac{1}{20}$.

$\frac{100}{(x + 20)(x + 10)} = \frac{1}{20}$.

Воспользуемся свойством пропорции (перекрестное умножение): $100 \cdot 20 = 1 \cdot (x + 20)(x + 10)$.

$2000 = x^2 + 10x + 20x + 200$.

Приведем уравнение к стандартному квадратному виду $ax^2 + bx + c = 0$: $x^2 + 30x + 200 - 2000 = 0$ $x^2 + 30x - 1800 = 0$.

Решим полученное квадратное уравнение. Вычислим дискриминант: $D = b^2 - 4ac = 30^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1800) = 900 + 7200 = 8100$.

Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{8100} = 90$.

Найдем корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$: $x_1 = \frac{-30 + 90}{2 \cdot 1} = \frac{60}{2} = 30$. $x_2 = \frac{-30 - 90}{2 \cdot 1} = \frac{-120}{2} = -60$.

Поскольку масса вещества не может быть отрицательной, корень $x_2 = -60$ не имеет физического смысла и не является решением задачи. Следовательно, масса меди в исходном куске сплава составляла 30 кг.

Ответ: 30 кг.