Номер 827, страница 202 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 827, страница 202.

Условие.

827. К бассейну подведены две трубы. Через одну трубу воду наливают в бассейн, а через другую сливают, причём на слив воды требуется на 1 ч больше, чем на его наполнение. Если же открыть обе трубы одновременно, то бассейн наполнится водой за 30 ч. За сколько часов можно наполнить пустой бассейн водой через первую трубу?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения этой задачи примем весь объем бассейна за 1.

Пусть $x$ — время в часах, за которое первая труба наполняет бассейн. Тогда ее производительность (скорость работы) равна $\frac{1}{x}$ объема бассейна в час.

По условию, второй трубе на слив воды требуется на 1 час больше. Следовательно, время, за которое вторая труба полностью сливает воду из бассейна, составляет $x + 1$ часов. Производительность второй трубы равна $\frac{1}{x+1}$ объема бассейна в час.

Когда обе трубы открыты, первая труба наполняет бассейн, а вторая сливает из него воду. Общая скорость наполнения бассейна будет равна разности производительностей первой и второй труб:

$V_{общая} = \frac{1}{x} - \frac{1}{x+1}$

В задаче сказано, что при одновременной работе двух труб бассейн наполнится за 30 часов. Это значит, что общая производительность составляет $\frac{1}{30}$ объема бассейна в час. Можем составить уравнение:

$\frac{1}{x} - \frac{1}{x+1} = \frac{1}{30}$

Чтобы решить это уравнение, приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+1)$:

$\frac{x+1}{x(x+1)} - \frac{x}{x(x+1)} = \frac{1}{30}$

$\frac{x+1-x}{x(x+1)} = \frac{1}{30}$

$\frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{30}$

Из этого следует, что знаменатели дробей равны:

$x(x+1) = 30$

Раскроем скобки и получим квадратное уравнение:

$x^2 + x - 30 = 0$

Найдем корни этого уравнения с помощью дискриминанта:

$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 1 + 120 = 121$

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 + 11}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{121}}{2 \cdot 1} = \frac{-1 - 11}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Поскольку время ($x$) не может быть отрицательным значением, корень $x_2 = -6$ не подходит по условию задачи.

Таким образом, время, за которое первая труба может наполнить пустой бассейн, составляет 5 часов.

Ответ: 5 часов.