Номер 822, страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 822, страница 201.

Условие.

822. Одному маляру требуется на 5 ч больше, чем другому, чтобы покрасить фасад дома. Когда первый маляр проработал 3 ч, а потом его сменил второй маляр, проработавший 2 ч, то оказалось, что покрашено 40 % фасада. За какое время может покрасить фасад каждый маляр, работая самостоятельно?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Обозначим за $x$ время в часах, за которое второй маляр может покрасить фасад, работая самостоятельно. Из условия задачи следует, что первому маляру (который работает медленнее) для выполнения той же работы потребуется $(x + 5)$ часов.

Производительность (скорость работы) — это часть работы, выполняемая за единицу времени. Таким образом, производительность первого маляра составляет $\frac{1}{x+5}$ фасада в час, а производительность второго маляра — $\frac{1}{x}$ фасада в час.

Согласно условию, первый маляр работал 3 часа, а второй — 2 часа. Найдем, какую часть работы выполнил каждый из них:

• Часть работы, выполненная первым маляром за 3 часа: $3 \cdot \frac{1}{x+5} = \frac{3}{x+5}$
• Часть работы, выполненная вторым маляром за 2 часа: $2 \cdot \frac{1}{x} = \frac{2}{x}$

Вместе они покрасили 40% фасада. Представим 40% в виде дроби: $40\% = \frac{40}{100} = \frac{2}{5}$.

Теперь мы можем составить уравнение, сложив части работы, выполненные обоими малярами: $$ \frac{3}{x+5} + \frac{2}{x} = \frac{2}{5} $$

Для решения уравнения необходимо привести дроби в левой части к общему знаменателю $x(x+5)$: $$ \frac{3x}{x(x+5)} + \frac{2(x+5)}{x(x+5)} = \frac{2}{5} $$ $$ \frac{3x + 2x + 10}{x^2 + 5x} = \frac{2}{5} $$ $$ \frac{5x + 10}{x^2 + 5x} = \frac{2}{5} $$

Используем свойство пропорции (перекрестное умножение), чтобы избавиться от дробей. Условие $x > 0$ гарантирует, что знаменатели не равны нулю. $$ 5(5x + 10) = 2(x^2 + 5x) $$ $$ 25x + 50 = 2x^2 + 10x $$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$: $$ 2x^2 + 10x - 25x - 50 = 0 $$ $$ 2x^2 - 15x - 50 = 0 $$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$: $$ D = (-15)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-50) = 225 + 400 = 625 $$ Корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{625} = 25$.

Теперь найдем корни уравнения: $$ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 + 25}{2 \cdot 2} = \frac{40}{4} = 10 $$ $$ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{15 - 25}{2 \cdot 2} = \frac{-10}{4} = -2.5 $$

Поскольку $x$ представляет собой время, оно не может быть отрицательным. Поэтому корень $x_2 = -2.5$ не является решением задачи. Таким образом, время, за которое второй маляр покрасит фасад, составляет 10 часов.

Время работы первого маляра: $$ x + 5 = 10 + 5 = 15 \text{ часов} $$

Ответ: время, за которое может покрасить фасад каждый маляр, работая самостоятельно, составляет 15 часов для первого маляра и 10 часов для второго.