Номер 818, страница 201 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 818, страница 201.

Условие.

818. Теплоход прошёл $16\text{ км}$ по озеру, а затем $18\text{ км}$ по реке, берущей начало из этого озера, за $1\text{ ч}$. Найдите скорость теплохода в стоячей воде, если скорость течения реки составляет $4\text{ км/ч}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $x$ км/ч — это собственная скорость теплохода, то есть его скорость в стоячей воде. В озере нет течения, поэтому скорость теплохода по озеру равна его собственной скорости $x$ км/ч.

Река берет начало из озера, и теплоход плыл по ней, следовательно, он двигался по течению. Скорость течения реки составляет 4 км/ч. Таким образом, скорость теплохода по реке равна сумме его собственной скорости и скорости течения: $(x + 4)$ км/ч.

Время движения можно найти по формуле $t = S/v$, где $t$ — время, $S$ — расстояние, $v$ — скорость.

Время, которое теплоход затратил на путь по озеру, составляет: $t_1 = \frac{16}{x}$ ч.

Время, которое теплоход затратил на путь по реке, составляет: $t_2 = \frac{18}{x + 4}$ ч.

Общее время в пути, согласно условию задачи, равно 1 часу. Составим уравнение, сложив время движения по озеру и по реке:

$\frac{16}{x} + \frac{18}{x + 4} = 1$

Для решения этого уравнения приведем дроби к общему знаменателю $x(x + 4)$. Так как $x$ представляет собой скорость, $x > 0$, поэтому знаменатели не равны нулю.

$16(x + 4) + 18x = x(x + 4)$

Раскроем скобки и упростим выражение:

$16x + 64 + 18x = x^2 + 4x$

$34x + 64 = x^2 + 4x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 4x - 34x - 64 = 0$

$x^2 - 30x - 64 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-30)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-64) = 900 + 256 = 1156$

$\sqrt{D} = \sqrt{1156} = 34$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-(-30) + 34}{2 \cdot 1} = \frac{30 + 34}{2} = \frac{64}{2} = 32$

$x_2 = \frac{-(-30) - 34}{2 \cdot 1} = \frac{30 - 34}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Скорость не может быть отрицательной, поэтому корень $x_2 = -2$ не является решением задачи. Следовательно, скорость теплохода в стоячей воде равна 32 км/ч.

Проверим найденное решение:

Время по озеру: $\frac{16 \text{ км}}{32 \text{ км/ч}} = 0.5$ ч.

Время по реке: $\frac{18 \text{ км}}{(32 + 4) \text{ км/ч}} = \frac{18 \text{ км}}{36 \text{ км/ч}} = 0.5$ ч.

Общее время: $0.5 \text{ ч} + 0.5 \text{ ч} = 1$ ч.

Решение верное.

Ответ: скорость теплохода в стоячей воде составляет 32 км/ч.