Номер 811, страница 200 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 811, страница 200.

Условие.

811. Лодка проплыла 15 км по течению реки и вернулась, затратив на обратный путь на 1 ч больше. Найдите скорость лодки по течению реки, если скорость течения составляет 2 км/ч.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде) равна $v_л$ км/ч. Скорость течения реки равна $v_т = 2$ км/ч. Расстояние в один конец составляет $S = 15$ км.

Тогда скорость лодки по течению реки равна $v_{по} = v_л + v_т = v_л + 2$ км/ч.

Скорость лодки против течения реки равна $v_{пр} = v_л - v_т = v_л - 2$ км/ч. При этом должно выполняться условие $v_л > v_т$, то есть $v_л > 2$.

Время, затраченное на путь по течению, вычисляется по формуле $t = S/v$. В данном случае $t_{по} = \frac{15}{v_л + 2}$ ч.

Время, затраченное на обратный путь (против течения), составляет $t_{пр} = \frac{15}{v_л - 2}$ ч.

По условию задачи, на обратный путь лодка затратила на 1 час больше, чем на путь по течению. Это можно выразить уравнением:

$t_{пр} = t_{по} + 1$

Подставим выражения для времени в это уравнение:

$\frac{15}{v_л - 2} = \frac{15}{v_л + 2} + 1$

Перенесем слагаемое с переменной в левую часть:

$\frac{15}{v_л - 2} - \frac{15}{v_л + 2} = 1$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(v_л - 2)(v_л + 2)$:

$\frac{15(v_л + 2) - 15(v_л - 2)}{(v_л - 2)(v_л + 2)} = 1$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{15v_л + 30 - 15v_л + 30}{v_л^2 - 4} = 1$

Упростим числитель:

$\frac{60}{v_л^2 - 4} = 1$

Из этого следует, что знаменатель равен числителю:

$v_л^2 - 4 = 60$

$v_л^2 = 64$

Решая это уравнение, получаем два корня:

$v_л = \sqrt{64} = 8$ или $v_л = -\sqrt{64} = -8$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, выбираем корень $v_л = 8$ км/ч. Это значение удовлетворяет ранее установленному условию $v_л > 2$.

Теперь найдем скорость лодки по течению реки, как требуется в вопросе задачи:

$v_{по} = v_л + v_т = 8 + 2 = 10$ км/ч.

Ответ: 10 км/ч.