Номер 808, страница 200 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Параграф 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 808, страница 200.

Условие.

808. Первый насос перекачивает $90 \text{ м}^3$ воды на 1 ч быстрее, чем второй $100 \text{ м}^3$. Сколько воды за 1 ч перекачивает каждый насос, если первый перекачивает за 1 ч на $5 \text{ м}^3$ воды больше, чем второй?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть производительность первого насоса (объем воды, перекачиваемый за 1 час) равна $x$ м³/ч, а производительность второго насоса — $y$ м³/ч.

Из условия задачи известно, что первый насос перекачивает за 1 час на 5 м³ воды больше, чем второй. Это можно записать в виде уравнения:

$x = y + 5$

Время, необходимое для выполнения работы, вычисляется по формуле: $t = \frac{V}{P}$, где $V$ — объем работы, а $P$ — производительность.

Время, за которое первый насос перекачивает 90 м³ воды, составляет:

$t_1 = \frac{90}{x}$ ч

Время, за которое второй насос перекачивает 100 м³ воды, составляет:

$t_2 = \frac{100}{y}$ ч

Согласно условию, первый насос выполняет свою работу на 1 час быстрее, чем второй. Составим второе уравнение:

$t_2 - t_1 = 1$

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$:

$\frac{100}{y} - \frac{90}{x} = 1$

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} x = y + 5 \\ \frac{100}{y} - \frac{90}{x} = 1 \end{cases}$

Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:

$\frac{100}{y} - \frac{90}{y + 5} = 1$

Решим это уравнение. Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $y(y + 5)$:

$\frac{100(y + 5) - 90y}{y(y + 5)} = 1$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{100y + 500 - 90y}{y^2 + 5y} = 1$

$\frac{10y + 500}{y^2 + 5y} = 1$

Так как производительность $y$ не может быть равна нулю или -5, умножим обе части на знаменатель $y^2 + 5y$:

$10y + 500 = y^2 + 5y$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$y^2 + 5y - 10y - 500 = 0$

$y^2 - 5y - 500 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-500) = 25 + 2000 = 2025$

Найдем корни уравнения: $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$y_1 = \frac{5 + \sqrt{2025}}{2} = \frac{5 + 45}{2} = \frac{50}{2} = 25$

$y_2 = \frac{5 - \sqrt{2025}}{2} = \frac{5 - 45}{2} = \frac{-40}{2} = -20$

Поскольку производительность насоса не может быть отрицательной величиной, корень $y_2 = -20$ не подходит по смыслу задачи.

Следовательно, производительность второго насоса $y = 25$ м³/ч.

Теперь найдем производительность первого насоса:

$x = y + 5 = 25 + 5 = 30$ м³/ч.

Проверим решение:

Время работы первого насоса: $t_1 = 90 / 30 = 3$ часа.

Время работы второго насоса: $t_2 = 100 / 25 = 4$ часа.

$t_2 - t_1 = 4 - 3 = 1$ час, что соответствует условию задачи.

Ответ: первый насос перекачивает 30 м³/ч, а второй — 25 м³/ч.