Страница 200 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

804. Из одного города в другой, расстояние между которыми равно 240 км, выехали одновременно автобус и автомобиль. Автобус двигался со скоростью на 20 км/ч меньшей, чем автомобиль, и прибыл в пункт назначения на 1 ч позже автомобиля. Найдите скорость автомобиля и скорость автобуса.

Для решения задачи введем переменную. Пусть скорость автомобиля равна $x$ км/ч. Поскольку автобус двигался на 20 км/ч медленнее, его скорость составляет $(x - 20)$ км/ч.

Расстояние между городами равно 240 км. Время в пути для каждого транспортного средства можно найти по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Время, которое затратил на дорогу автомобиль: $t_{автомобиля} = \frac{240}{x}$ ч.

Время, которое затратил на дорогу автобус: $t_{автобуса} = \frac{240}{x-20}$ ч.

Согласно условию, автобус прибыл в пункт назначения на 1 час позже автомобиля. Это означает, что время, затраченное автобусом, на 1 час больше времени, затраченного автомобилем. На основе этого составим уравнение:

$t_{автобуса} - t_{автомобиля} = 1$

$\frac{240}{x-20} - \frac{240}{x} = 1$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x-20)$.

$\frac{240x - 240(x-20)}{x(x-20)} = 1$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{240x - 240x + 4800}{x^2 - 20x} = 1$

$\frac{4800}{x^2 - 20x} = 1$

При условии, что $x \neq 0$ и $x \neq 20$, мы можем записать уравнение в виде:

$x^2 - 20x = 4800$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 20x - 4800 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант ($D = b^2 - 4ac$):

$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4800) = 400 + 19200 = 19600$

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 + \sqrt{19600}}{2} = \frac{20 + 140}{2} = \frac{160}{2} = 80$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 - \sqrt{19600}}{2} = \frac{20 - 140}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -60$ не является решением задачи. Следовательно, скорость автомобиля $x = 80$ км/ч.

Теперь найдем скорость автобуса:

$x - 20 = 80 - 20 = 60$ км/ч.

Проверим: время автомобиля $240/80 = 3$ часа. Время автобуса $240/60 = 4$ часа. Разница составляет $4 - 3 = 1$ час, что соответствует условию задачи.

Ответ: скорость автомобиля — 80 км/ч, скорость автобуса — 60 км/ч.

805. Поезд опаздывал на 10 мин. Чтобы прибыть на станцию назначения вовремя, он за 80 км от этой станции увеличил свою скорость на 16 км/ч. Найдите первоначальную скорость поезда.

Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость поезда. Тогда $v + 16$ км/ч — новая скорость поезда на последнем участке пути.

Поезд опаздывал на 10 минут. Чтобы прибыть вовремя, он должен был сэкономить это время на оставшемся участке пути длиной 80 км. Переведем время опоздания в часы:

$10 \text{ мин} = \frac{10}{60} \text{ ч} = \frac{1}{6} \text{ ч}$

Время, которое поезд затратил бы на прохождение 80 км с первоначальной скоростью $v$, составляет $t_1 = \frac{80}{v}$ ч.

Время, которое поезд фактически затратил на этот же участок, двигаясь с увеличенной скоростью $v + 16$, составляет $t_2 = \frac{80}{v+16}$ ч.

Разница между временем по расписанию и фактическим временем на этом участке равна времени, которое поезд наверстал, то есть $\frac{1}{6}$ часа. Составим уравнение:

$t_1 - t_2 = \frac{1}{6}$

$\frac{80}{v} - \frac{80}{v+16} = \frac{1}{6}$

Приведем дроби в левой части уравнения к общему знаменателю $v(v+16)$:

$\frac{80(v+16) - 80v}{v(v+16)} = \frac{1}{6}$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{80v + 1280 - 80v}{v^2 + 16v} = \frac{1}{6}$

$\frac{1280}{v^2 + 16v} = \frac{1}{6}$

Используя свойство пропорции, получим:

$v^2 + 16v = 1280 \cdot 6$

$v^2 + 16v = 7680$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$v^2 + 16v - 7680 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 16^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-7680) = 256 + 30720 = 30976$

Найдем корни уравнения: $v = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$\sqrt{D} = \sqrt{30976} = 176$

$v_1 = \frac{-16 + 176}{2} = \frac{160}{2} = 80$

$v_2 = \frac{-16 - 176}{2} = \frac{-192}{2} = -96$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -96$ не является решением задачи. Следовательно, первоначальная скорость поезда равна 80 км/ч.

Ответ: 80 км/ч.

806. Из села Вишнёвое в село Яблоневое, расстояние между которыми равно 15 км, всадник проскакал с некоторой скоростью. Возвращался он со скоростью на 3 км/ч большей и потратил на обратный путь на 15 мин меньше, чем на путь из Вишнёвого в Яблоневое. Найдите первоначальную скорость всадника.

Пусть $v$ км/ч — первоначальная скорость всадника. Тогда скорость на обратном пути была $(v + 3)$ км/ч, так как она была на 3 км/ч больше.

Расстояние между селом Вишнёвое и селом Яблоневое составляет 15 км.

Время, которое всадник затратил на путь из Вишнёвого в Яблоневое, можно выразить формулой $t_1 = \frac{S}{v} = \frac{15}{v}$ часов.

Время, затраченное на обратный путь, составляет $t_2 = \frac{S}{v+3} = \frac{15}{v+3}$ часов.

По условию задачи, на обратный путь всадник потратил на 15 минут меньше. Прежде всего, переведем 15 минут в часы, чтобы все единицы измерения были согласованы: $15 \text{ мин} = \frac{15}{60} \text{ ч} = \frac{1}{4} \text{ ч}$.

Теперь мы можем составить уравнение, исходя из того, что разница во времени $t_1 - t_2$ равна $\frac{1}{4}$ часа: $\frac{15}{v} - \frac{15}{v+3} = \frac{1}{4}$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $v(v+3)$: $\frac{15(v+3) - 15v}{v(v+3)} = \frac{1}{4}$

Раскроем скобки в числителе и упростим выражение: $\frac{15v + 45 - 15v}{v^2 + 3v} = \frac{1}{4}$ $\frac{45}{v^2 + 3v} = \frac{1}{4}$

Теперь воспользуемся свойством пропорции («крест-накрест»): $1 \cdot (v^2 + 3v) = 45 \cdot 4$ $v^2 + 3v = 180$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $v^2 + 3v - 180 = 0$

Решим это уравнение. Найдем дискриминант $D$: $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-180) = 9 + 720 = 729$

Найдем корни уравнения: $v_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + \sqrt{729}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 + 27}{2} = \frac{24}{2} = 12$ $v_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - \sqrt{729}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 - 27}{2} = \frac{-30}{2} = -15$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, корень $v_2 = -15$ не имеет физического смысла и не является решением задачи. Следовательно, первоначальная скорость всадника равна 12 км/ч.

Ответ: 12 км/ч.

807. Наборщик должен был за некоторое время набрать 180 страниц. Однако он выполнил эту работу на 5 ч раньше срока, так как набирал на 3 страницы в час больше, чем планировал. Сколько страниц в час он должен был набирать?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ страниц в час — это скорость набора, которую планировал наборщик. Тогда время, за которое он должен был набрать 180 страниц, составляет $\frac{180}{x}$ часов.

По условию, наборщик работал быстрее плана, набирая на 3 страницы в час больше. Его фактическая скорость составила $x + 3$ страниц в час.

Также известно, что он закончил работу на 5 часов раньше срока. Значит, фактическое время, затраченное на работу, равно $(\frac{180}{x} - 5)$ часов.

Зная фактическую скорость и фактическое время, мы можем составить уравнение, так как объем работы остался прежним — 180 страниц:

$(x + 3) \cdot (\frac{180}{x} - 5) = 180$

Теперь решим это уравнение. Раскроем скобки в левой части:

$x \cdot \frac{180}{x} - 5 \cdot x + 3 \cdot \frac{180}{x} - 3 \cdot 5 = 180$

$180 - 5x + \frac{540}{x} - 15 = 180$

Вычтем 180 из обеих частей уравнения:

$-5x + \frac{540}{x} - 15 = 0$

Умножим обе части уравнения на $x$, чтобы избавиться от знаменателя (при этом $x \neq 0$, что логично для скорости работы):

$-5x^2 - 15x + 540 = 0$

Разделим все члены уравнения на -5 для упрощения:

$x^2 + 3x - 108 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Найдем его корни с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-108) = 9 + 432 = 441$

$\sqrt{D} = \sqrt{441} = 21$

Теперь найдем значения $x$:

$x_1 = \frac{-3 + 21}{2 \cdot 1} = \frac{18}{2} = 9$

$x_2 = \frac{-3 - 21}{2 \cdot 1} = \frac{-24}{2} = -12$

Поскольку скорость набора не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -12$ не является решением задачи. Следовательно, единственно верное значение — $x = 9$.

Таким образом, наборщик должен был набирать 9 страниц в час.

Ответ: 9 страниц в час.

808. Первый насос перекачивает $90 \text{ м}^3$ воды на 1 ч быстрее, чем второй $100 \text{ м}^3$. Сколько воды за 1 ч перекачивает каждый насос, если первый перекачивает за 1 ч на $5 \text{ м}^3$ воды больше, чем второй?

Пусть производительность первого насоса (объем воды, перекачиваемый за 1 час) равна $x$ м³/ч, а производительность второго насоса — $y$ м³/ч.

Из условия задачи известно, что первый насос перекачивает за 1 час на 5 м³ воды больше, чем второй. Это можно записать в виде уравнения:

$x = y + 5$

Время, необходимое для выполнения работы, вычисляется по формуле: $t = \frac{V}{P}$, где $V$ — объем работы, а $P$ — производительность.

Время, за которое первый насос перекачивает 90 м³ воды, составляет:

$t_1 = \frac{90}{x}$ ч

Время, за которое второй насос перекачивает 100 м³ воды, составляет:

$t_2 = \frac{100}{y}$ ч

Согласно условию, первый насос выполняет свою работу на 1 час быстрее, чем второй. Составим второе уравнение:

$t_2 - t_1 = 1$

Подставим выражения для $t_1$ и $t_2$:

$\frac{100}{y} - \frac{90}{x} = 1$

Получили систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} x = y + 5 \\ \frac{100}{y} - \frac{90}{x} = 1 \end{cases}$

Подставим выражение для $x$ из первого уравнения во второе:

$\frac{100}{y} - \frac{90}{y + 5} = 1$

Решим это уравнение. Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $y(y + 5)$:

$\frac{100(y + 5) - 90y}{y(y + 5)} = 1$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{100y + 500 - 90y}{y^2 + 5y} = 1$

$\frac{10y + 500}{y^2 + 5y} = 1$

Так как производительность $y$ не может быть равна нулю или -5, умножим обе части на знаменатель $y^2 + 5y$:

$10y + 500 = y^2 + 5y$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$y^2 + 5y - 10y - 500 = 0$

$y^2 - 5y - 500 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-500) = 25 + 2000 = 2025$

Найдем корни уравнения: $y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$

$y_1 = \frac{5 + \sqrt{2025}}{2} = \frac{5 + 45}{2} = \frac{50}{2} = 25$

$y_2 = \frac{5 - \sqrt{2025}}{2} = \frac{5 - 45}{2} = \frac{-40}{2} = -20$

Поскольку производительность насоса не может быть отрицательной величиной, корень $y_2 = -20$ не подходит по смыслу задачи.

Следовательно, производительность второго насоса $y = 25$ м³/ч.

Теперь найдем производительность первого насоса:

$x = y + 5 = 25 + 5 = 30$ м³/ч.

Проверим решение:

Время работы первого насоса: $t_1 = 90 / 30 = 3$ часа.

Время работы второго насоса: $t_2 = 100 / 25 = 4$ часа.

$t_2 - t_1 = 4 - 3 = 1$ час, что соответствует условию задачи.

Ответ: первый насос перекачивает 30 м³/ч, а второй — 25 м³/ч.

809. Рабочий должен был за определённое время изготовить 72 детали. Однако ежедневно он изготавливал на 4 детали больше, чем планировал, и закончил работу на 3 дня раньше срока. За сколько дней он выполнил работу?

Для решения задачи введем переменную. Пусть $x$ — это количество дней, за которое рабочий фактически выполнил всю работу.

Согласно условию, рабочий закончил работу на 3 дня раньше срока. Это означает, что по плану он должен был работать $x + 3$ дня.

Общий объем работы составляет 72 детали.

Теперь выразим производительность труда (количество деталей в день) в обоих случаях:

• Фактическая производительность: $\frac{72}{x}$ деталей в день.
• Плановая производительность: $\frac{72}{x+3}$ деталей в день.

Известно, что ежедневно рабочий изготавливал на 4 детали больше, чем планировал. Составим уравнение, отражающее это условие:

$\frac{72}{x} = \frac{72}{x+3} + 4$

Теперь решим это уравнение. Для начала перенесем все члены в левую часть и приведем к общему знаменателю. ОДЗ: $x \ne 0$ и $x \ne -3$.

$\frac{72}{x} - \frac{72}{x+3} - 4 = 0$

Приведем дроби к общему знаменателю $x(x+3)$:

$\frac{72(x+3) - 72x - 4x(x+3)}{x(x+3)} = 0$

Дробь равна нулю, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Решаем уравнение для числителя:

$72(x+3) - 72x - 4x(x+3) = 0$

Раскроем скобки:

$72x + 216 - 72x - 4x^2 - 12x = 0$

Приведем подобные слагаемые:

$-4x^2 - 12x + 216 = 0$

Разделим все уравнение на -4 для упрощения:

$x^2 + 3x - 54 = 0$

Мы получили квадратное уравнение. Решим его через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-54) = 9 + 216 = 225$

$\sqrt{D} = 15$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 + 15}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-3 - 15}{2} = \frac{-18}{2} = -9$

Поскольку $x$ обозначает количество дней, это значение не может быть отрицательным. Следовательно, корень $x_2 = -9$ не является решением задачи.

Таким образом, рабочий выполнил работу за 6 дней.

Проверим решение:

• Фактически работал 6 дней. Производительность: $72 / 6 = 12$ деталей в день.
• По плану должен был работать $6 + 3 = 9$ дней. Плановая производительность: $72 / 9 = 8$ деталей в день.
• Разница в производительности: $12 - 8 = 4$ детали в день, что соответствует условию задачи.

Ответ: рабочий выполнил работу за 6 дней.

810. Катер прошёл 16 км по течению реки и 30 км против течения, затратив на весь путь 1 ч 30 мин. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки составляет 1 км/ч.

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость катера. Поскольку скорость течения реки составляет 1 км/ч, то скорость катера по течению равна $(x + 1)$ км/ч, а скорость против течения — $(x - 1)$ км/ч. Отметим, что для движения против течения необходимо, чтобы собственная скорость была больше скорости течения, то есть $x > 1$.

Время, которое катер затратил на 16 км по течению, равно $\frac{16}{x+1}$ ч. Время, затраченное на 30 км против течения, равно $\frac{30}{x-1}$ ч.

Общее время движения составляет 1 ч 30 мин, что равно $1.5$ часа. Можем составить уравнение, сложив время движения по течению и против течения:

$\frac{16}{x+1} + \frac{30}{x-1} = 1.5$

Для решения уравнения приведём дроби в левой части к общему знаменателю $(x+1)(x-1) = x^2 - 1$:

$\frac{16(x-1) + 30(x+1)}{x^2-1} = 1.5$

$\frac{16x - 16 + 30x + 30}{x^2-1} = 1.5$

$\frac{46x + 14}{x^2 - 1} = 1.5$

Теперь воспользуемся свойством пропорции:

$46x + 14 = 1.5(x^2 - 1)$

$46x + 14 = 1.5x^2 - 1.5$

Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим обе части уравнения на 2:

$92x + 28 = 3x^2 - 3$

Перенесём все слагаемые в правую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение $ax^2 + bx + c = 0$:

$3x^2 - 92x - 31 = 0$

Решим это уравнение с помощью дискриминанта $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-92)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-31) = 8464 + 372 = 8836$

Найдём квадратный корень из дискриминанта: $\sqrt{D} = \sqrt{8836} = 94$.

Теперь найдём корни уравнения по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{92 + 94}{2 \cdot 3} = \frac{186}{6} = 31$

$x_2 = \frac{92 - 94}{2 \cdot 3} = \frac{-2}{6} = -\frac{1}{3}$

Корень $x_2 = -\frac{1}{3}$ не подходит по смыслу задачи, так как скорость не может быть отрицательной. Корень $x_1 = 31$ удовлетворяет условию $x > 1$.

Следовательно, собственная скорость катера равна 31 км/ч.

Ответ: 31 км/ч.

811. Лодка проплыла 15 км по течению реки и вернулась, затратив на обратный путь на 1 ч больше. Найдите скорость лодки по течению реки, если скорость течения составляет 2 км/ч.

Пусть собственная скорость лодки (скорость в стоячей воде) равна $v_л$ км/ч. Скорость течения реки равна $v_т = 2$ км/ч. Расстояние в один конец составляет $S = 15$ км.

Тогда скорость лодки по течению реки равна $v_{по} = v_л + v_т = v_л + 2$ км/ч.

Скорость лодки против течения реки равна $v_{пр} = v_л - v_т = v_л - 2$ км/ч. При этом должно выполняться условие $v_л > v_т$, то есть $v_л > 2$.

Время, затраченное на путь по течению, вычисляется по формуле $t = S/v$. В данном случае $t_{по} = \frac{15}{v_л + 2}$ ч.

Время, затраченное на обратный путь (против течения), составляет $t_{пр} = \frac{15}{v_л - 2}$ ч.

По условию задачи, на обратный путь лодка затратила на 1 час больше, чем на путь по течению. Это можно выразить уравнением:

$t_{пр} = t_{по} + 1$

Подставим выражения для времени в это уравнение:

$\frac{15}{v_л - 2} = \frac{15}{v_л + 2} + 1$

Перенесем слагаемое с переменной в левую часть:

$\frac{15}{v_л - 2} - \frac{15}{v_л + 2} = 1$

Приведем дроби в левой части к общему знаменателю $(v_л - 2)(v_л + 2)$:

$\frac{15(v_л + 2) - 15(v_л - 2)}{(v_л - 2)(v_л + 2)} = 1$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{15v_л + 30 - 15v_л + 30}{v_л^2 - 4} = 1$

Упростим числитель:

$\frac{60}{v_л^2 - 4} = 1$

Из этого следует, что знаменатель равен числителю:

$v_л^2 - 4 = 60$

$v_л^2 = 64$

Решая это уравнение, получаем два корня:

$v_л = \sqrt{64} = 8$ или $v_л = -\sqrt{64} = -8$

Поскольку скорость не может быть отрицательной величиной, выбираем корень $v_л = 8$ км/ч. Это значение удовлетворяет ранее установленному условию $v_л > 2$.

Теперь найдем скорость лодки по течению реки, как требуется в вопросе задачи:

$v_{по} = v_л + v_т = 8 + 2 = 10$ км/ч.

Ответ: 10 км/ч.

812. По течению реки от пристани отплыл плот. Через 4 ч от этой пристани в том же направлении отчалила лодка, догнавшая плот на расстоянии 15 км от пристани. Найдите скорость течения реки, если собственная скорость лодки составляет 12 км/ч.

Пусть $x$ км/ч — это искомая скорость течения реки. Плот не имеет собственной скорости, поэтому его скорость равна скорости течения реки, то есть $x$ км/ч. Лодка движется по течению, следовательно, её скорость равна сумме её собственной скорости и скорости течения: $12 + x$ км/ч.

И плот, и лодка прошли одинаковое расстояние — 15 км. Время, затраченное плотом на этот путь, составляет $t_{плота} = \frac{15}{x}$ часов. Время, затраченное лодкой, составляет $t_{лодки} = \frac{15}{12 + x}$ часов.

Согласно условию, лодка отправилась в путь на 4 часа позже плота. Это значит, что время движения плота было на 4 часа больше времени движения лодки. На основе этого можно составить уравнение:

$t_{плота} - t_{лодки} = 4$

$\frac{15}{x} - \frac{15}{12 + x} = 4$

Теперь решим это уравнение. Приведем левую часть к общему знаменателю $x(12 + x)$:

$\frac{15(12 + x) - 15x}{x(12 + x)} = 4$

$\frac{180 + 15x - 15x}{12x + x^2} = 4$

$\frac{180}{x^2 + 12x} = 4$

Умножим обе части уравнения на знаменатель $x^2 + 12x$, при условии, что $x \neq 0$, что верно, так как скорость течения не может быть нулевой.

$180 = 4(x^2 + 12x)$

Разделим обе части на 4:

$45 = x^2 + 12x$

Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 + 12x - 45 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = 12^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-45) = 144 + 180 = 324$

$\sqrt{D} = \sqrt{324} = 18$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-12 + 18}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_2 = \frac{-12 - 18}{2} = \frac{-30}{2} = -15$

Корень $x_2 = -15$ не подходит по смыслу задачи, так как скорость не может быть отрицательной. Следовательно, скорость течения реки равна 3 км/ч.

Ответ: 3 км/ч.

813. Катер прошёл 45 км по течению реки и 28 км против течения, потратив на весь путь 4 ч. Найдите скорость течения, если собственная скорость катера составляет 18 км/ч.

Пусть скорость течения реки равна $x$ км/ч. Согласно условию, собственная скорость катера составляет 18 км/ч. Тогда скорость катера по течению реки равна $(18 + x)$ км/ч, а скорость катера против течения — $(18 - x)$ км/ч. Скорость течения должна быть положительной величиной и меньше собственной скорости катера, чтобы он мог двигаться против течения, следовательно, $0 < x < 18$.

Время, которое катер затратил на путь в 45 км по течению, вычисляется как $t_1 = \frac{45}{18+x}$ ч. Время, затраченное на путь в 28 км против течения, составляет $t_2 = \frac{28}{18-x}$ ч. Поскольку общее время в пути равно 4 часам, можно составить следующее уравнение:

$\frac{45}{18+x} + \frac{28}{18-x} = 4$

Для решения этого рационального уравнения приведем левую часть к общему знаменателю $(18+x)(18-x)$ и выполним преобразования. Умножим обе части уравнения на этот знаменатель, учитывая, что $x \neq \pm 18$:

$45(18 - x) + 28(18 + x) = 4(18 + x)(18 - x)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:

$810 - 45x + 504 + 28x = 4(18^2 - x^2)$

Приведем подобные слагаемые:

$1314 - 17x = 4(324 - x^2)$

$1314 - 17x = 1296 - 4x^2$

Перенесем все члены уравнения в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$:

$4x^2 - 17x + 1314 - 1296 = 0$

$4x^2 - 17x + 18 = 0$

Теперь решим полученное квадратное уравнение. Сначала найдем дискриминант $D$ по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-17)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 18 = 289 - 288 = 1$

Так как дискриминант больше нуля ($D > 0$), уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-17) + \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{17 + 1}{8} = \frac{18}{8} = 2.25$

$x_2 = \frac{-(-17) - \sqrt{1}}{2 \cdot 4} = \frac{17 - 1}{8} = \frac{16}{8} = 2$

Оба найденных значения, $x_1 = 2.25$ и $x_2 = 2$, удовлетворяют первоначальному условию $0 < x < 18$. Следовательно, задача имеет два правильных решения.

Ответ: 2 км/ч или 2,25 км/ч.

814. Турист проплыл $5/8$ всего пути на катере, а остальную часть проехал на автомобиле. Скорость автомобиля на 20 км/ч больше скорости катера. На автомобиле он ехал на 1 ч 30 мин меньше, чем плыл на катере. Найдите скорость автомобиля и скорость катера, если всего турист преодолел 160 км.

Для решения задачи введем переменные. Пусть $x$ км/ч — это скорость катера. По условию, скорость автомобиля на 20 км/ч больше, следовательно, скорость автомобиля равна $(x + 20)$ км/ч.

Общий путь составляет 160 км.

1. Найдем расстояние, которое турист преодолел на каждом виде транспорта.

Расстояние, которое турист проплыл на катере, составляет $\frac{5}{8}$ всего пути:
$S_{катера} = 160 \cdot \frac{5}{8} = \frac{160 \cdot 5}{8} = 20 \cdot 5 = 100$ км.

Оставшуюся часть пути турист проехал на автомобиле:
$S_{автомобиля} = 160 - 100 = 60$ км.

2. Выразим время движения для каждого вида транспорта.

Время, которое турист плыл на катере, равно:
$t_{катера} = \frac{S_{катера}}{v_{катера}} = \frac{100}{x}$ ч.

Время, которое турист ехал на автомобиле, равно:
$t_{автомобиля} = \frac{S_{автомобиля}}{v_{автомобиля}} = \frac{60}{x+20}$ ч.

3. Составим и решим уравнение.

По условию, на автомобиле турист ехал на 1 час 30 минут меньше, чем плыл на катере. Переведем это время в часы:
$1\ ч\ 30\ мин = 1.5$ часа.

Разница во времени составляет 1.5 часа, поэтому можем составить уравнение:
$t_{катера} - t_{автомобиля} = 1.5$
$\frac{100}{x} - \frac{60}{x+20} = 1.5$

Для решения уравнения приведем дроби к общему знаменателю $x(x+20)$:
$\frac{100(x+20) - 60x}{x(x+20)} = 1.5$
$\frac{100x + 2000 - 60x}{x^2 + 20x} = 1.5$
$\frac{40x + 2000}{x^2 + 20x} = 1.5$

Теперь воспользуемся свойством пропорции, умножив знаменатель на 1.5 (при условии, что $x \neq 0$ и $x \neq -20$):
$40x + 2000 = 1.5(x^2 + 20x)$
$40x + 2000 = 1.5x^2 + 30x$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
$1.5x^2 + 30x - 40x - 2000 = 0$
$1.5x^2 - 10x - 2000 = 0$

Чтобы избавиться от десятичной дроби, умножим все уравнение на 2:
$3x^2 - 20x - 4000 = 0$

Решим квадратное уравнение через дискриминант: $D = b^2 - 4ac$.
$D = (-20)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-4000) = 400 + 48000 = 48400$
$\sqrt{D} = \sqrt{48400} = 220$

Найдем корни уравнения:
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 + 220}{2 \cdot 3} = \frac{240}{6} = 40$
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 - 220}{2 \cdot 3} = \frac{-200}{6} \approx -33.33$

Так как скорость не может быть отрицательной, корень $x_2$ не является решением задачи. Следовательно, скорость катера $x = 40$ км/ч.

4. Найдем скорость автомобиля.

Скорость автомобиля равна $(x + 20)$:
$40 + 20 = 60$ км/ч.

Проверка:
Время на катере: $t_{катера} = \frac{100}{40} = 2.5$ часа.
Время на автомобиле: $t_{автомобиля} = \frac{60}{60} = 1$ час.
Разница: $2.5 - 1 = 1.5$ часа, что соответствует 1 часу 30 минутам. Решение верное.

Ответ: скорость катера — 40 км/ч, скорость автомобиля — 60 км/ч.