Номер 804, страница 200 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 24. Рациональные уравнения как математические модели реальных ситуаций - номер 804, страница 200.

Условие.

804. Из одного города в другой, расстояние между которыми равно 240 км, выехали одновременно автобус и автомобиль. Автобус двигался со скоростью на 20 км/ч меньшей, чем автомобиль, и прибыл в пункт назначения на 1 ч позже автомобиля. Найдите скорость автомобиля и скорость автобуса.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения задачи введем переменную. Пусть скорость автомобиля равна $x$ км/ч. Поскольку автобус двигался на 20 км/ч медленнее, его скорость составляет $(x - 20)$ км/ч.

Расстояние между городами равно 240 км. Время в пути для каждого транспортного средства можно найти по формуле $t = \frac{S}{v}$, где $S$ — расстояние, а $v$ — скорость.

Время, которое затратил на дорогу автомобиль: $t_{автомобиля} = \frac{240}{x}$ ч.

Время, которое затратил на дорогу автобус: $t_{автобуса} = \frac{240}{x-20}$ ч.

Согласно условию, автобус прибыл в пункт назначения на 1 час позже автомобиля. Это означает, что время, затраченное автобусом, на 1 час больше времени, затраченного автомобилем. На основе этого составим уравнение:

$t_{автобуса} - t_{автомобиля} = 1$

$\frac{240}{x-20} - \frac{240}{x} = 1$

Для решения этого уравнения приведем дроби в левой части к общему знаменателю $x(x-20)$.

$\frac{240x - 240(x-20)}{x(x-20)} = 1$

Раскроем скобки в числителе:

$\frac{240x - 240x + 4800}{x^2 - 20x} = 1$

$\frac{4800}{x^2 - 20x} = 1$

При условии, что $x \neq 0$ и $x \neq 20$, мы можем записать уравнение в виде:

$x^2 - 20x = 4800$

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 20x - 4800 = 0$

Решим это уравнение через дискриминант ($D = b^2 - 4ac$):

$D = (-20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4800) = 400 + 19200 = 19600$

Теперь найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 + \sqrt{19600}}{2} = \frac{20 + 140}{2} = \frac{160}{2} = 80$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{20 - \sqrt{19600}}{2} = \frac{20 - 140}{2} = \frac{-120}{2} = -60$

Так как скорость не может быть отрицательной величиной, корень $x_2 = -60$ не является решением задачи. Следовательно, скорость автомобиля $x = 80$ км/ч.

Теперь найдем скорость автобуса:

$x - 20 = 80 - 20 = 60$ км/ч.

Проверим: время автомобиля $240/80 = 3$ часа. Время автобуса $240/60 = 4$ часа. Разница составляет $4 - 3 = 1$ час, что соответствует условию задачи.

Ответ: скорость автомобиля — 80 км/ч, скорость автобуса — 60 км/ч.