Номер 798, страница 193 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Глава 3. Квадратные уравнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям. Упражнения - номер 798, страница 193.

Условие.

798. Верно ли утверждение, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения

$(a-1)^2 \left( \frac{1}{a^2-1} + \frac{1}{a^2-2a+1} \right) + \frac{2}{a+1}$

является положительным числом?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы проверить истинность утверждения, необходимо упростить данное алгебраическое выражение и проанализировать результат. Прежде всего, найдем область допустимых значений (ОДЗ) переменной a.

1. Определение области допустимых значений (ОДЗ)

Выражение определено, когда все его знаменатели не равны нулю. Найдем значения a, которые нужно исключить:

• $a^2 - 1 = 0 \implies (a-1)(a+1) = 0 \implies a = 1$ или $a = -1$.
• $a^2 - 2a + 1 = 0 \implies (a-1)^2 = 0 \implies a = 1$.
• $a + 1 = 0 \implies a = -1$.

Таким образом, область допустимых значений — это все действительные числа, кроме $a=1$ и $a=-1$.

2. Упрощение выражения

Рассмотрим выражение: $ (a-1)^2 \left( \frac{1}{a^2-1} + \frac{1}{a^2-2a+1} \right) + \frac{2}{a+1} $.

Сначала преобразуем знаменатели дробей в скобках, используя формулы сокращенного умножения: разность квадратов и квадрат разности.

$a^2 - 1 = (a-1)(a+1)$

$a^2 - 2a + 1 = (a-1)^2$

Подставим эти разложения в исходное выражение:

$ (a-1)^2 \left( \frac{1}{(a-1)(a+1)} + \frac{1}{(a-1)^2} \right) + \frac{2}{a+1} $

Теперь приведем дроби в скобках к общему знаменателю, который равен $(a-1)^2(a+1)$:

$ (a-1)^2 \left( \frac{1 \cdot (a-1)}{(a-1)^2(a+1)} + \frac{1 \cdot (a+1)}{(a-1)^2(a+1)} \right) + \frac{2}{a+1} $

Выполним сложение в числителе дроби в скобках:

$ (a-1)^2 \left( \frac{a-1+a+1}{(a-1)^2(a+1)} \right) + \frac{2}{a+1} = (a-1)^2 \cdot \frac{2a}{(a-1)^2(a+1)} + \frac{2}{a+1} $

Сократим множитель $(a-1)^2$, так как в ОДЗ $a \neq 1$:

$ \frac{2a}{a+1} + \frac{2}{a+1} $

Сложим дроби с одинаковым знаменателем:

$ \frac{2a+2}{a+1} $

Вынесем общий множитель 2 в числителе:

$ \frac{2(a+1)}{a+1} $

Сократим дробь на $(a+1)$, так как в ОДЗ $a \neq -1$:

$ 2 $

3. Вывод

В результате упрощения мы установили, что при всех допустимых значениях переменной a ($a \neq 1$ и $a \neq -1$) значение исходного выражения тождественно равно 2.

Число 2 является положительным числом ($2 > 0$).

Следовательно, утверждение, что при всех допустимых значениях переменной значение выражения является положительным числом, верно.

Ответ: Да, утверждение верно, так как при всех допустимых значениях переменной значение выражения равно 2, а 2 — положительное число.