Номер 796, страница 193 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 796, страница 193.

Условие.

796. Для каждого значения a решите уравнение:

1) $\frac{x^2 - 8x + 7}{x - a} = 0;$

2) $\frac{x - a}{x^2 - 8x + 7} = 0;$

3) $\frac{x^2 - (3a + 2)x + 6a}{x - 6} = 0;$

4) $\frac{a(x - a)}{x + 3} = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дано уравнение $\frac{x^2 - 8x + 7}{x - a} = 0$.
Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель не равен нулю. Это приводит к системе условий:
$ \begin{cases} x^2 - 8x + 7 = 0 \\ x - a \neq 0 \end{cases} $
Сначала решим квадратное уравнение $x^2 - 8x + 7 = 0$.
По теореме Виета, сумма корней равна 8, а произведение равно 7. Отсюда находим корни: $x_1 = 1$ и $x_2 = 7$.
Теперь нужно учесть условие $x - a \neq 0$, то есть $x \neq a$.
Рассмотрим различные значения параметра $a$:
- Если $a = 1$, то корень $x = 1$ не является решением уравнения, так как знаменатель обращается в ноль. В этом случае единственным решением является $x = 7$.
- Если $a = 7$, то корень $x = 7$ не является решением. Единственным решением является $x = 1$.
- Если $a \neq 1$ и $a \neq 7$, то оба корня, $x = 1$ и $x = 7$, являются решениями уравнения.

Ответ: если $a=1$, то $x=7$; если $a=7$, то $x=1$; если $a \neq 1$ и $a \neq 7$, то $x_1=1$, $x_2=7$.

2) Дано уравнение $\frac{x - a}{x^2 - 8x + 7} = 0$.
Уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} x - a = 0 \\ x^2 - 8x + 7 \neq 0 \end{cases} $
Из первого уравнения следует, что $x = a$.
Из второго условия, зная корни уравнения $x^2 - 8x + 7 = 0$ из предыдущего пункта, получаем, что $x \neq 1$ и $x \neq 7$.
Решение $x=a$ будет корнем исходного уравнения, если оно не совпадает ни с одним из запрещенных значений.
- Если $a = 1$, то потенциальный корень $x = 1$ запрещен. Уравнение не имеет решений.
- Если $a = 7$, то потенциальный корень $x = 7$ запрещен. Уравнение не имеет решений.
- Если $a \neq 1$ и $a \neq 7$, то корень $x = a$ является решением.

Ответ: если $a=1$ или $a=7$, то корней нет; если $a \neq 1$ и $a \neq 7$, то $x=a$.

3) Дано уравнение $\frac{x^2 - (3a + 2)x + 6a}{x - 6} = 0$.
Уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} x^2 - (3a + 2)x + 6a = 0 \\ x - 6 \neq 0 \end{cases} $
Решим квадратное уравнение $x^2 - (3a + 2)x + 6a = 0$.
Найдем дискриминант: $D = (-(3a+2))^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6a = 9a^2 + 12a + 4 - 24a = 9a^2 - 12a + 4 = (3a-2)^2$.
Корни уравнения:
$x_1 = \frac{3a+2 - \sqrt{(3a-2)^2}}{2} = \frac{3a+2 - (3a-2)}{2} = \frac{4}{2} = 2$.
$x_2 = \frac{3a+2 + \sqrt{(3a-2)^2}}{2} = \frac{3a+2 + 3a-2}{2} = \frac{6a}{2} = 3a$.
Таким образом, потенциальные корни $x = 2$ и $x = 3a$.
Теперь учтем условие $x \neq 6$.
Корень $x = 2$ всегда является решением, так как $2 \neq 6$.
Рассмотрим корень $x = 3a$. Он не является решением, если $3a = 6$, то есть $a=2$.
- Если $a = 2$, то корень $x = 3a = 6$ отбрасывается. Остается единственный корень $x=2$.
- Если $a \neq 2$, то оба значения, $x=2$ и $x=3a$, являются корнями. При $a=2/3$ эти корни совпадают ($x=2$), что не меняет ответа.

Ответ: если $a=2$, то $x=2$; если $a \neq 2$, то $x_1=2$, $x_2=3a$.

4) Дано уравнение $\frac{a(x - a)}{x + 3} = 0$.
Уравнение равносильно системе:
$ \begin{cases} a(x-a) = 0 \\ x + 3 \neq 0 \end{cases} $
Условие на знаменатель: $x \neq -3$.
Рассмотрим уравнение для числителя $a(x-a) = 0$. Решение зависит от значения параметра $a$.
- Случай 1: $a = 0$.
Уравнение принимает вид $\frac{0 \cdot (x - 0)}{x + 3} = 0$, то есть $\frac{0}{x+3} = 0$.
Это равенство верно для всех значений $x$, при которых знаменатель не равен нулю. То есть, для всех $x \neq -3$.
- Случай 2: $a \neq 0$.
В этом случае, чтобы произведение $a(x-a)$ было равно нулю, необходимо, чтобы $x-a = 0$, откуда $x=a$.
Это решение является корнем исходного уравнения, если оно удовлетворяет условию $x \neq -3$, то есть $a \neq -3$.
-- Если $a = -3$ (и $a \neq 0$), то корень $x = -3$ не подходит. В этом случае решений нет.
-- Если $a \neq 0$ и $a \neq -3$, то решением является $x=a$.

Ответ: если $a=0$, то $x$ — любое число, кроме $-3$; если $a=-3$, то корней нет; если $a \neq 0$ и $a \neq -3$, то $x=a$.