Номер 791, страница 192 - гдз по алгебре 8 класс учебник Мерзляк, Полонский

Упражнения. Параграф 23. Решение уравнений, сводящихся к квадратным уравнениям. Глава 3. Квадратные уравнения - номер 791, страница 192.

Условие.

791. Решите уравнение:

1) $ \frac{2x - 10}{x^3 + 1} + \frac{4}{x + 1} = \frac{5x - 1}{x^2 - x + 1}; $

2) $ \frac{6}{x^2 - 4x + 3} + \frac{5 - 2x}{x - 1} = \frac{3}{x - 3}; $

3) $ \frac{4x - 6}{x + 2} - \frac{x}{x + 1} = \frac{14}{x^2 + 3x + 2}; $

4) $ \frac{x}{x^2 - 4} - \frac{3x - 1}{x^2 + x - 6} = \frac{2}{x^2 + 5x + 6}; $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 3.

Решение 4.

Решение 5.

Решение 6.

Решение 7.

Решение 8.

1) Исходное уравнение: $ \frac{2x-10}{x^3+1} + \frac{4}{x+1} = \frac{5x-1}{x^2-x+1} $.
Разложим знаменатель $x^3+1$ на множители, используя формулу суммы кубов $a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)$: $x^3+1 = (x+1)(x^2-x+1)$.
Уравнение принимает вид: $ \frac{2x-10}{(x+1)(x^2-x+1)} + \frac{4}{x+1} = \frac{5x-1}{x^2-x+1} $.
Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условиями, при которых знаменатели не равны нулю: $x+1 \neq 0$ и $x^2-x+1 \neq 0$.
Из первого условия получаем $x \neq -1$.
Квадратный трехчлен $x^2-x+1$ имеет дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 1 - 4 = -3 < 0$, поэтому он не имеет действительных корней и не равен нулю ни при каком действительном $x$.
Следовательно, ОДЗ: $x \neq -1$.
Приведем все дроби к общему знаменателю $(x+1)(x^2-x+1)$: $ \frac{2x-10}{(x+1)(x^2-x+1)} + \frac{4(x^2-x+1)}{(x+1)(x^2-x+1)} = \frac{(5x-1)(x+1)}{(x+1)(x^2-x+1)} $.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, учитывая ОДЗ: $ 2x-10 + 4(x^2-x+1) = (5x-1)(x+1) $.
Раскроем скобки: $ 2x-10 + 4x^2-4x+4 = 5x^2+5x-x-1 $.
Приведем подобные слагаемые: $ 4x^2 - 2x - 6 = 5x^2 + 4x - 1 $.
Перенесем все члены в одну сторону: $ 5x^2 - 4x^2 + 4x + 2x - 1 + 6 = 0 $.
$ x^2 + 6x + 5 = 0 $.
Решим полученное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-6$, а произведение равно $5$. Корнями являются $x_1 = -1$ и $x_2 = -5$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq -1$).
Корень $x_1 = -1$ является посторонним, так как он не входит в ОДЗ.
Корень $x_2 = -5$ удовлетворяет ОДЗ.
Ответ: $-5$.

2) Исходное уравнение: $ \frac{6}{x^2-4x+3} + \frac{5-2x}{x-1} = \frac{3}{x-3} $.
Разложим на множители знаменатель $x^2-4x+3$. Корни уравнения $x^2-4x+3=0$ по теореме Виета равны $1$ и $3$. Следовательно, $x^2-4x+3 = (x-1)(x-3)$.
Уравнение принимает вид: $ \frac{6}{(x-1)(x-3)} + \frac{5-2x}{x-1} = \frac{3}{x-3} $.
ОДЗ: $x-1 \neq 0$ и $x-3 \neq 0$, то есть $x \neq 1$ и $x \neq 3$.
Общий знаменатель: $(x-1)(x-3)$.
Приведем дроби к общему знаменателю: $ \frac{6}{(x-1)(x-3)} + \frac{(5-2x)(x-3)}{(x-1)(x-3)} = \frac{3(x-1)}{(x-1)(x-3)} $.
Умножим обе части на $(x-1)(x-3)$, учитывая ОДЗ: $ 6 + (5-2x)(x-3) = 3(x-1) $.
Раскроем скобки: $ 6 + 5x - 15 - 2x^2 + 6x = 3x - 3 $.
Приведем подобные слагаемые: $ -2x^2 + 11x - 9 = 3x - 3 $.
Перенесем все члены в одну сторону: $ 2x^2 - 11x + 3x + 9 - 3 = 0 $.
$ 2x^2 - 8x + 6 = 0 $.
Разделим уравнение на $2$: $ x^2 - 4x + 3 = 0 $.
Корни этого уравнения: $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 1$ и $x \neq 3$).
Оба корня, $x_1=1$ и $x_2=3$, являются посторонними.
Ответ: корней нет.

3) Исходное уравнение: $ \frac{4x-6}{x+2} - \frac{x}{x+1} = \frac{14}{x^2+3x+2} $.
Разложим на множители знаменатель $x^2+3x+2$. Корни уравнения $x^2+3x+2=0$ по теореме Виета равны $-1$ и $-2$. Следовательно, $x^2+3x+2 = (x+1)(x+2)$.
Уравнение принимает вид: $ \frac{4x-6}{x+2} - \frac{x}{x+1} = \frac{14}{(x+1)(x+2)} $.
ОДЗ: $x+1 \neq 0$ и $x+2 \neq 0$, то есть $x \neq -1$ и $x \neq -2$.
Общий знаменатель: $(x+1)(x+2)$.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, учитывая ОДЗ: $ (4x-6)(x+1) - x(x+2) = 14 $.
Раскроем скобки: $ (4x^2 + 4x - 6x - 6) - (x^2 + 2x) = 14 $.
$ 4x^2 - 2x - 6 - x^2 - 2x = 14 $.
Приведем подобные слагаемые: $ 3x^2 - 4x - 6 = 14 $.
$ 3x^2 - 4x - 20 = 0 $.
Решим квадратное уравнение через дискриминант: $ D = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-20) = 16 + 240 = 256 = 16^2 $.
$ x_{1,2} = \frac{-(-4) \pm \sqrt{256}}{2 \cdot 3} = \frac{4 \pm 16}{6} $.
$ x_1 = \frac{4+16}{6} = \frac{20}{6} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3} $.
$ x_2 = \frac{4-16}{6} = \frac{-12}{6} = -2 $.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq -1$ и $x \neq -2$).
Корень $x_1 = \frac{10}{3}$ удовлетворяет ОДЗ.
Корень $x_2 = -2$ является посторонним.
Ответ: $3\frac{1}{3}$.

4) Исходное уравнение: $ \frac{x}{x^2-4} - \frac{3x-1}{x^2+x-6} = \frac{2}{x^2+5x+6} $.
Разложим знаменатели на множители:
$x^2-4 = (x-2)(x+2)$.
$x^2+x-6 = (x-2)(x+3)$ (корни $2$ и $-3$).
$x^2+5x+6 = (x+2)(x+3)$ (корни $-2$ и $-3$).
Уравнение принимает вид: $ \frac{x}{(x-2)(x+2)} - \frac{3x-1}{(x-2)(x+3)} = \frac{2}{(x+2)(x+3)} $.
ОДЗ: $x-2 \neq 0$, $x+2 \neq 0$, $x+3 \neq 0$. То есть $x \neq 2$, $x \neq -2$, $x \neq -3$.
Общий знаменатель: $(x-2)(x+2)(x+3)$.
Умножим обе части уравнения на общий знаменатель, учитывая ОДЗ: $ x(x+3) - (3x-1)(x+2) = 2(x-2) $.
Раскроем скобки: $ x^2+3x - (3x^2+6x-x-2) = 2x-4 $.
$ x^2+3x - (3x^2+5x-2) = 2x-4 $.
$ x^2+3x - 3x^2-5x+2 = 2x-4 $.
Приведем подобные слагаемые: $ -2x^2 - 2x + 2 = 2x - 4 $.
Перенесем все члены в одну сторону: $ 2x^2 + 2x + 2x - 2 - 4 = 0 $.
$ 2x^2 + 4x - 6 = 0 $.
Разделим уравнение на $2$: $ x^2 + 2x - 3 = 0 $.
Решим квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, а произведение равно $-3$. Корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -3$.
Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \neq 2$, $x \neq -2$, $x \neq -3$).
Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет ОДЗ.
Корень $x_2 = -3$ является посторонним.
Ответ: $1$.